Pracownia fizyczna

Rₓ = F₁ₓ + F₂ₓ + …, a Rᵧ = F₁ᵧ + F₂ᵧ + … . Wartość siły wypadkowej wynosi |R| = √(Rₓ² + Rᵧ²). Dla 3 N w prawo i 4 N w górę otrzymujemy √(9 + 16) = 5 N.

Gdy obie sumy są zerowe, siły pozostają w równowadze. W inercjalnym układzie odniesienia ciało ma wtedy zerowe przyspieszenie; może spoczywać albo poruszać się ze stałą prędkością.

Dlaczego dodajemy składowe, a nie długości strzałek?

Wektor siły niesie dwie informacje: jak duża jest siła i w którą stronę działa. Dwie osoby ciągnące wózek w przeciwne strony nie wywołują tego samego skutku co osoby ciągnące zgodnie, choć wskazania dwóch siłomierzy mogą być identyczne. Samo dodanie wartości pomija tę różnicę.

Oś x wybieramy w prawo, a y w górę. Siła (3, 0) N oznacza 3 N w prawo, bez składowej pionowej; (0, 4) N to 4 N w górę. Złożone działanie daje wektor (3, 4) N. Jego współrzędne opisują jedną siłę zastępczą, a nie dwie dodatkowe siły, które trzeba jeszcze doliczyć do układu.

Dodając wektory na kartce, przenieś początek drugiej strzałki na koniec pierwszej, zachowując jej długość, kierunek i zwrot. Wypadkowa biegnie od początku pierwszej do końca drugiej. Pracownia rysuje tę konstrukcję liniami przerywanymi; przeciąganie końca kolorowej strzałki zmienia natomiast samą siłę. Przenosimy rysunek wektora na potrzeby dodawania; nie twierdzimy, że w rzeczywistym ciele dowolna zmiana punktu przyłożenia siły jest bez znaczenia.

Przykład 1: siły prostopadłe

Dla (3, 0) N i (0, 4) N otrzymujemy R_x=3+0=3\ \mathrm{N},\quad R_y=0+4=4\ \mathrm{N}. Składowe są bokami prostokątnego trójkąta, a wypadkowa jego przeciwprostokątną. Z twierdzenia Pitagorasa:

|\vec R|=\sqrt{R_x^2+R_y^2}=\sqrt{(3\ \mathrm{N})^2+(4\ \mathrm{N})^2}=5\ \mathrm{N}.

Wynik nie wynosi 7 N. Taka suma wartości odpowiadałaby siłom o zgodnych zwrotach i tym samym kierunku. Kąt wypadkowej z dodatnią osią x spełnia \tan\alpha=R_y/R_x=4/3, więc α ≈ 53,13°. To kąt w pierwszej ćwiartce. Przy innych znakach składowych trzeba również ustalić ćwiartkę; sam iloraz nie odróżnia wektorów (3, 4) i (−3, −4).

Przykład 2: siły przeciwne i warunek równowagi

Ustaw (7, 0) N oraz (−4, 0) N. Składowa pozioma wynosi 7 − 4 = 3 N, pionowa zero. Ciało doznaje wypadkowej 3 N w prawo. Teraz do przykładu prostopadłego dodaj trzecią siłę (−3, −4) N. Obie sumy składowych wyzerują się. Siła równoważąca jest przeciwna do wypadkowej poprzednich sił, ma zatem wartość 5 N, a nie 7 N.

W inercjalnym układzie odniesienia druga zasada Newtona wiąże wypadkową z przyspieszeniem: \vec a=\frac{\vec R}{m}. Dla masy 2 kg i wypadkowej (3, 4) N przyspieszenie wynosi (1,5; 2) m/s², a jego wartość 2,5 m/s². Przy zerowej wypadkowej przyspieszenie jest zerowe. Nie wynika z tego zerowa prędkość: ciało może już poruszać się jednostajnie.

Trzy pytania do rysunku

1. Ukryj wypadkową i ustaw (2, 1) N oraz (−2, 3) N. Przewiduj, czy suma będzie pozioma, pionowa czy ukośna.
2. Dodaj trzecią siłę tak, by nastąpiła równowaga. Najpierw wpisz jej składowe na kartce, potem sprawdź.
3. Czy siła Ziemi działająca na książkę i siła książki działająca na Ziemię znoszą się w równaniu ruchu książki?

Odpowiedzi: suma to (0, 4) N, więc pionowo ku górze. Równoważy ją (0, −4) N. Para z trzeciej zasady Newtona działa na dwa różne ciała; w równaniu książki uwzględniamy wyłącznie siły działające na książkę. Nie wolno dopisać oddziaływania na Ziemię jako drugiej siły na książkę.

Pracownia traktuje ciało jak punkt i nie oblicza momentów sił. Dla rozciągłej bryły dwie przeciwne siły mogą dawać zerową wypadkową, a jednak obracać bryłę. W takim problemie potrzebne są także punkty przyłożenia i ramiona sił.