Ruch drgający

Trzy masy po 0,20 kg łączą trzy sprężyny o K = 20 N/m: jedna między lewą ścianą i pierwszą masą oraz dwie między sąsiadami. Po prawej nie ma ściany ani dodatkowej sprężyny. Wyznacz wszystkie częstości kołowe. Dla najniższego modu przyjmij A_j = C sin(jπ/7) i C = 0,020 m. Oblicz trzy amplitudy ze znakiem oraz siłę wypadkową na ostatnią masę przy wspólnym czynniku czasowym cos(ω₁t) = 1. Sprawdź równanie tej masy i wyjaśnij, dlaczego A₃ = 0 byłoby niewłaściwym warunkiem.

Trzy swobodne masy po m = 0,20 kg są połączone dwiema sprężynami o K = 20 N/m. Początkowo wszystkie sprężyny mają naturalną długość, x₁ = x₂ = x₃ = 0. Tylko środkowa masa otrzymuje prędkość V = +0,12 m/s. Wyznacz pęd, prędkość środka masy i energie translacji oraz drgań wewnętrznych. Użyj unormowanych kształtów (1; 1; 1)/√3, (1; 0; −1)/√2 i (1; −2; 1)/√6 do wyprowadzenia x₁(t), x₂(t), x₃(t). Czy skrajne masy zawsze pozostają nieruchome, skoro nie otrzymały początkowej prędkości?

Trzy masy po 0,20 kg nadal są połączone dwiema wewnętrznymi sprężynami o K = 20 N/m, ale usunięto obie sprężyny przy ścianach. Sprawdź bez używania wzoru dla zamocowanych końców kształty (1; 1; 1), (1; 0; −1) i (1; −2; 1). Wyznacz ich częstości. Następnie opisz ruch, gdy wszystkie masy mają początkowo zerowe wychylenia i taką samą prędkość +0,10 m/s.

Pięć mas po m = 0,10 kg tworzy łańcuch między nieruchomymi ścianami; sześć sprężyn ma K = 10 N/m. Wszystkie wychylenia początkowe są zerowe. Tylko drugiej masie nadaj prędkość V = +0,12 m/s. Wyznacz pięć prędkości normalnych q̇_r(0), wskaż niewzbudzone mody i oblicz energię każdego modu. Zapisz q_r(t) oraz sumę dającą x_j(t). Jak zmieniłyby się udziały energii, gdyby zamiast pchnięcia odchylić tylko tę masę i puścić układ bez prędkości?

W tym samym zamocowanym łańcuchu trzech mas (m = 0,20 kg, K = 20 N/m) odchyl tylko środkową masę o A = 0,020 m i puść wszystkie bez prędkości. Wyznacz współrzędne normalne w chwili startu i wzory x₁(t), x₂(t), x₃(t). Jaki procent energii ma każdy z wzbudzonych modów?

Trzy masy po 0,20 kg są połączone czterema sprężynami o K = 20 N/m między nieruchomymi ścianami. Wyznacz wszystkie częstości kołowe i odpowiadające częstotliwości. Dla modu o kształcie (1; 0; −1) oblicz siłę na środkową masę, gdy skrajne wychylenia wynoszą +1,0 cm i −1,0 cm. Wyjaśnij, dlaczego ten mod nie dzieli łańcucha na dwa odłączone układy.

Dwie identyczne masy mają m = 1,00 kg, zewnętrzne sprężyny k = 100 N/m, a sprzężenie κ = 16,125 N/m. Początkowo x₁ = A = 0,0200 m, x₂ = 0, obie prędkości są zerowe. Zatem ωₛ = 10,0 rad/s i ωₐ = 11,5 rad/s. W chwili t* = 2π/3 s obwiednia pierwszej masy znika. Ktoś twierdzi: „cała energia jest teraz w drugim ciężarku”. Oblicz x₁, x₂, v₁ i v₂, a następnie E₁ = mv₁²/2 + kx₁²/2, E₂ = mv₂²/2 + kx₂²/2 oraz Eκ = κ(x₂ − x₁)²/2. Porównaj sumę z energią początkową.

Dla startu x₁(0) = A, x₂(0) = 0 i zerowych prędkości częstości modów wynoszą ωₛ = 4,00 rad/s oraz ωₐ = 5,00 rad/s. Wyznacz częstość szybkiego czynnika, czas pierwszego zaniku obwiedni x₁ i okres powtarzania się jej wartości bezwzględnej. Oblicz stan obu mas w chwili pierwszego zaniku obwiedni. Czy po jednym okresie obwiedni cały układ powróci do początkowych położeń i prędkości? Uzasadnij odpowiedź przez fazy modów, a nie sam kształt obwiedni.