Podział energii w rozpadzie dwuciałowym

Potrzebne wiadomości: Zasada zachowania pędu, energia kinetyczna, energia spoczynkowa.

Dlaczego cięższy produkt także musi się poruszyć?

Przed rozpadem jądro spoczywa. Jeśli po przemianie powstaną tylko dwa produkty, ich wektorowe pędy muszą dać zero. Ruch lekkiej cząstki w jedną stronę wymaga zatem odrzutu cięższej w przeciwną. Duża masa nie oznacza zerowego pędu; przy tym samym pędzie oznacza małą szybkość.

Przyjmijmy masy m i M oraz dostępną energię Q. Zakładamy brak dodatkowego fotonu, innych produktów i energii zatrzymanej we wzbudzeniu. Cała Q staje się energią kinetyczną obu produktów. To warunki modelu dwuciałowego, nie opis dowolnego rozpadu.

Łączymy dwa prawa zachowania

Skoro wartości pędów są równe p, w przybliżeniu nierelatywistycznym:

T_m=\frac{p^2}{2m},\qquad T_M=\frac{p^2}{2M},\qquad T_m+T_M=Q.

Dzielenie energii usuwa nieznany p: T_m/T_M=M/m. Lżejszy produkt dostaje większą część energii. Zapiszmy Tᴍ = Tₘm/M i wstawmy do sumy. Po wyłączeniu Tₘ przed nawias i przekształceniu otrzymujemy:

T_m=Q\frac{M}{M+m},\qquad T_M=Q\frac{m}{M+m}.

W liczniku energii jednej cząstki pojawia się masa drugiej. To skutek równości pędów, a nie pomyłka w indeksach. Sumując oba wyniki, natychmiast odzyskujemy Q.

Przykład z widocznym odrzutem

Dla modelowych mas m = 2 u, M = 6 u i Q = 8 MeV lżejszy produkt otrzymuje 6 MeV, a cięższy 2 MeV. Stosunek energii wynosi trzy, taki sam jak odwrotny stosunek mas. Wspólna jednostka u skraca się w ułamkach; nie trzeba zamieniać jej na kilogramy, jeśli pytamy wyłącznie o podział energii.

Porównajmy przypadek równych mas przy tej samej Q. Wtedy każda dostaje 4 MeV. Dla M znacznie większego od m energia cięższego produktu jest mała, ale przy skończonych masach i dodatnim Q pozostaje dodatnia. Przybliżenie „cała energia trafia do lekkiej cząstki” wymaga oceny wielkości pominiętego składnika.

Zadanie odwrotne

Jeśli zmierzono Tₘ = 3 MeV i M/m = 9, energia cięższego produktu wynosi Tᴍ = 3/9 = 1/3 MeV. Cała uwolniona energia to 10/3 MeV, około 3,333 MeV. Sam pomiar cząstki lekkiej zaniżałby Q o energię odrzutu. Sprawdzamy również szybkości: mvₘ = Mvᴍ, więc vₘ/vᴍ = 9. Równe wartości pędów nie są równymi energiami ani prędkościami.

Kiedy trzeba zmienić model?

Wzór p²/(2m) wymaga energii kinetycznej małej wobec mc² osobno dla każdego produktu. Przy większych energiach korzystamy z relacji relatywistycznej. Jeśli jądro początkowo się porusza, najpierw trzeba określić układ odniesienia. Przy trzech lub większej liczbie produktów dwa proste równania nie ustalą już jednej pary energii. Stan wzbudzony albo dodatkowy foton także zmieniają bilans dostępnej Q. Kontrola założeń jest równie istotna jak sprawdzenie, że liczby sumują się do podanej energii.

Ten sam rachunek przez masę zredukowaną

Wybierzmy oś wzdłuż ruchu lekkiego produktu. Jego pęd wynosi +p, a pęd ciężkiego −p. Nie podstawiamy znaku minus do energii: energia kinetyczna zależy od kwadratu wartości pędu. Bilans Q = p²/(2m) + p²/(2M) można zapisać za pomocą masy zredukowanej μ:

\mu=\frac{mM}{m+M},\qquad Q=\frac{p^2}{2\mu},\qquad p=\sqrt{2\mu Q}.

To wygodna druga droga rozwiązania, gdy pytanie dotyczy również prędkości. Najpierw wyznaczamy jeden wspólny pęd, a potem vₘ = p/m oraz vᴍ = p/M. Nie liczymy dwóch niezależnych pędów z całego Q, bo wtedy dwukrotnie wydalibyśmy tę samą energię.

Przy jednostkach MeV i u łatwiej rachować energie spoczynkowe a = mc², b = Mc². Wówczas μc² = ab/(a+b), a iloczyn pc ma jednostkę energii. Dla modelu m = 2 u, M = 6 u i Q = 8 MeV, przy 1 uc² ≈ 931,5 MeV, otrzymujemy μc² = 1397,25 MeV i pc ≈ 149,52 MeV. Nierelatywistyczne vₘ/c = pc/a ≈ 0,0803 oraz vᴍ/c ≈ 0,0268 dają stosunek trzech. To także kontrola, czy małoenergetyczne przybliżenie ma sens.

Co dokładnie zmienia teoria względności?

Równość przeciwnych pędów w układzie spoczynkowym rodzica pozostaje prawdziwa. Zmienia się związek energii z pędem: E² = p²c² + m²c⁴ oraz T = E − mc². Jeśli W = a + b + Q jest całkowitą energią początkową w tym układzie, to Eₘ + Eᴍ = W. Odejmując kwadraty relacji energii, pozbywamy się wspólnego p:

(E_m-E_M)W=a^2-b^2,\qquad E_m=\frac{W^2+a^2-b^2}{2W}.

Po odjęciu a i uporządkowaniu wyrażenia dostajemy dokładny podział dla dwóch masywnych produktów w tym modelu:

T_m=Q\frac{2b+Q}{2(a+b+Q)},\qquad T_M=Q\frac{2a+Q}{2(a+b+Q)}.

Gdy Q jest małe wobec energii spoczynkowych, pomijamy je w odpowiednich sumach i wracamy do Tₘ ≈ Qb/(a+b). Dla przykładu 2 u, 6 u i 8 MeV dokładny wynik to około 5,9979 i 2,0021 MeV, zamiast 6 i 2 MeV. Suma nadal wynosi 8. Większa precyzja rachunku nie poprawia jednak dokładności modelowych danych wejściowych; liczby służą tu do porównania przybliżeń.

Gdzie przebiega granica zastosowania?

Jeśli cięższy produkt pozostaje we wzbudzeniu, jego odpowiednia masa spoczynkowa jest większa, a energia dostępna ruchowi mniejsza niż dla przejścia do stanu podstawowego. Jeśli później emituje foton, trzeba odróżnić dwa etapy. Nie można wstawić energii fotonu do Q i jednocześnie podzielić całego Q pomiędzy dwie energie kinetyczne.

Opisujemy dwa masywne produkty, nie rozpad beta z elektronem i antyneutrinem ani emisję samego fotonu z odrzutem. W układzie laboratoryjnym poruszającego się rodzica pędy nie sumują się do zera. Sam warunek mniejszej masy nie wystarczy więc, by zawsze przypisać jednemu produktowi większą zmierzoną energię bez wskazania układu odniesienia.

Spróbuj odtworzyć wzór zamiast go zapamiętywać: narysuj dwa przeciwne pędy, zapisz energię każdego przez ten sam p, podziel energie, a następnie zastosuj ich sumę. Te cztery kroki wyjaśniają zarówno odwrotny stosunek mas, jak i fakt, że skończony odrzut pozostaje częścią bilansu.

Zadania do tego tematu

• Podział 5,40 MeV między alfę i ciężkie jądro
• Zmierzono energię alfy: odtwórz energię przemiany
• Równe pędy, różne prędkości produktów rozpadu

Dalsza lektura

Materiał referencyjny