Przepływ cieczy i równanie Bernoulliego

W dużym otwartym zbiorniku znajduje się woda. Mały otwór w ścianie leży 1,8 m poniżej poziomu jej powierzchni. Oblicz idealną prędkość wypływu do atmosfery. Przyjmij g = 10 m/s², pomijalną prędkość opadania powierzchni, ustalony poziom wody oraz brak strat lepkości.

Dalsze części: b) Po obniżeniu poziomu różnica wysokości względem otworu wynosi 0,45 m. Jaka jest chwilowa idealna prędkość? c) Dla pierwotnej wysokości 1,8 m przyjmij dodatkowo efektywne pole przekroju swobodnej strugi 0,50 cm². Oblicz natężenie przepływu w l/s. Pole dotyczy strugi, nie dowolnego otworu z ostrą krawędzią.

W poziomym przewodzie pole przekroju maleje z 8 cm² do 2 cm². W szerszym miejscu prędkość wody wynosi 1,5 m/s, a ciśnienie bezwzględne 200 kPa. Oblicz prędkość i ciśnienie w zwężeniu. Przyjmij ustalony przepływ idealnej, nieściśliwej wody o gęstości 1000 kg/m³, bez strat i bez pompy między przekrojami.

Dalsze części: b) Wyznacz objętościowe natężenie przepływu w l/s i czas napełnienia naczynia 12 l przy niezmienionym przepływie. c) Za zwężką jest odcinek o tym samym małym polu 2 cm², lecz o 2 m wyżej. Wyznacz tam ciśnienie, przyjmując g = 10 m/s² i te same założenia idealne.

Źródło utrzymuje nadciśnienie p₀ = 15 kPa przed wspólnym doprowadzeniem o Rₛ = 2,0·10⁹ Pa·s/m³. Za doprowadzeniem znajduje się węzeł N i gałąź R₁ = 6,0·10⁹ Pa·s/m³. Dołączamy drugą równoległą gałąź R₂ = 3,0·10⁹ Pa·s/m³. Obie kończą się przy zerowym nadciśnieniu odniesienia. Węzły są na tej samej wysokości, ich prędkości i straty w łącznikach pomijamy, a podane opory pozostają liniowe.

a) Wyznacz przepływ R₁ i ciśnienie N przed dołączeniem. b) Oblicz całkowity przepływ, oba natężenia gałęzi i ciśnienie N po dołączeniu. c) Porównaj zmianę sumy z przepływem starej gałęzi. Sprawdź bilans mocy w końcowym stanie.

Równoległe, liniowe gałęzie mają R₁ = 4,0·10⁹ i R₂ = 12,0·10⁹ Pa·s/m³. Łączą te same dwa węzły o ciśnieniach bezwzględnych 107 kPa i 101 kPa, na jednakowej wysokości. Prędkości węzłów i straty połączeń pomijamy. Przyjmij ustalony przepływ nieściśliwy oraz ważność podanych liniowych oporów w całym rozważanym zakresie.

a) Wyznacz natężenia w gałęziach, całkowite Q i opór zastępczy. b) Zamknięto gałąź R₁. Co stanie się z przepływem, jeżeli źródło nadal utrzymuje tę samą różnicę ciśnień? c) Jakiej różnicy ciśnień wymagałoby zamiast tego utrzymanie pierwotnego całkowitego Q przez samą gałąź R₂? Porównaj moc rozpraszaną w tych trzech stanach.

Dwa liniowe elementy hydrauliczne połączono szeregowo: od wejścia A do węzła B opór wynosi R₁ = 1,5·10⁹ Pa·s/m³, a od B do wyjścia C opór R₂ = 2,5·10⁹ Pa·s/m³. Ciśnienia bezwzględne to p_A = 109 kPa i p_C = 101 kPa. Węzły są na tej samej wysokości, a ich prędkości pomijalne. Załóż nieściśliwy, ustalony przepływ i liniowość obu oporów do 3 ml/s, z pomijalnymi stratami w połączeniach.

a) Oblicz przepływ i ciśnienie p_B. b) Oblicz moc rozpraszaną w każdym elemencie i porównaj sumę z mocą przekazywaną cieczy między A i C. c) Czy drugi element otrzymuje mniej cieczy niż pierwszy?

W długim, rozwiniętym odcinku poziomej rurki przyjmij a₀ = 1,0 mm, L = 0,50 m, η = 0,0010 Pa·s, ρ = 1000 kg/m³ i Δp = 800 Pa. Pierwotny stan spełnia model laminarny. Nowa rurka ma trzykrotny promień i taką samą długość.

a) Oblicz pierwotne ū, Q i Re. b) Przy niezmienionym Δp wyznacz prognozę modelu Poiseuille’a dla nowej rurki i sprawdź jej Re. Czy można uznać przewidywane Q za wiarygodny rzeczywisty przepływ w typowych warunkach? c) Jakie Re uzyskalibyśmy w szerszej rurce, gdyby sterowanie zamiast Δp zachowało pierwotne Q?

Rura kołowa ma średnicę D = 4,0 mm i długość 1,20 m. Woda modelowa o ρ = 1000 kg/m³ i η = 0,0010 Pa·s płynie ze średnią prędkością 0,150 m/s. Wlot jest spokojny i początkowo daje zbliżony do jednorodnego profil. Rozważamy parę króćców A: 0,040 m i 0,140 m od wlotu albo parę B: 0,400 m i 1,000 m od wlotu. Rura jest pozioma, prosta, bez dodatkowych zaburzeń.

a) Oblicz Re i oszacuj Lₑ ≈ 0,06 Re D. b) Która para jest lepiej uzasadniona do pomiaru rozwiniętego przepływu? c) Dla pary B oblicz spadek ciśnienia w modelu Poiseuille’a.

W prostej rurce o średnicy wewnętrznej D = 2,0 mm wykonano dwa pomiary ustalonego przepływu wody modelowej: Q₁ = 0,50 ml/s i Q₂ = 5,0 ml/s. Przyjmij ρ = 1000 kg/m³ i η = 0,0010 Pa·s.

a) Oblicz średnie prędkości i liczby Reynoldsa. Oceń, co każdy wynik mówi o przydatności modelu laminarnego, bez traktowania granic przejścia jako ścisłego prawa. b) W tym konkretnym doświadczeniu przyjęto zachowawczy limit roboczy Re ≤ 1000. Jaki maksymalny Q spełnia ten umowny limit? c) Czy spełnienie limitu dowodzi rozwinięcia profilu tuż za wlotem?

W ustalonym, rozwiniętym przepływie Newtonowskiej cieczy w poziomej rurze zmierzono prędkość na osi uₘₐₓ = 0,060 m/s. Promień rury wynosi a = 1,0 mm, a spadek ciśnienia na odcinku L = 0,40 m wynosi Δp = 960 Pa. Przyjmij profil paraboliczny i brak poślizgu.

a) Wyznacz η, prędkość w odległości a/2 od osi i średnią prędkość. b) Oblicz całkowite Q w ml/min. c) Jaka część Q przepływa przez centralny dysk o promieniu a/2? Porównaj ją z udziałem pola tego dysku. Możesz skorzystać z sumowania współosiowych pierścieni.

W długiej rurce utrzymywano Q₀ = 5,0 ml/min przy spadku ciśnienia Δp₀ = 3,0 kPa. W nowej rurce promień jest mniejszy o 20%, a długość, ciecz i temperatura są takie same. W obu porównywanych stanach zakładamy ważność prawa Poiseuille’a i pomijamy straty w połączeniach.

a) Jaki przepływ i czas zebrania 50 ml otrzymamy przy zachowaniu Δp₀? b) Jaki spadek ciśnienia byłby potrzebny, aby zachować Q₀? c) Dlaczego nie można jednocześnie zadeklarować zachowania obu wielkości przy tej zmianie geometrii?

Przez poziomy odcinek rury kołowej płynie olej modelowy o η = 0,050 Pa·s i ρ = 850 kg/m³. Promień wewnętrzny wynosi a = 1,5 mm, odległość między punktami pomiaru ciśnienia L = 0,80 m, a spadek ciśnienia Δp = 3200 Pa. Na całym tym odcinku przepływ jest ustalony, laminarny i rozwinięty; przy ścianie nie ma poślizgu.

a) Oblicz prędkość średnią i maksymalną. b) Wyznacz Q w ml/min oraz czas zebrania 30 ml przy niezmienionych warunkach. c) Wyjaśnij błąd użycia prędkości na osi do obliczenia Q dla całego przekroju.

W tej samej stałej temperaturze badano dwie modelowe ciecze. Niepewności pomiarów są małe w porównaniu z podanymi różnicami.

a) Oblicz ilorazy τ/γ̇ i oceń zgodność z modelem Newtonowskim w badanym zakresie. b) Znajdź siły na powierzchni 0,010 m² przy 40 s⁻¹. c) Czy z danych wolno jednoznacznie wyliczyć naprężenie cieczy B przy 60 s⁻¹?