Tło i wydajność: co mierzy licznik

Potrzebne wiadomości: Aktywność, częstość zdarzeń, okres połowiczny, proporcje.

Impuls licznika nie jest pojedynczym rozpadem na żądanie

Aktywność źródła określa średnią liczbę przemian w jednostce czasu. Licznik rejestruje tylko część związanych z nimi zdarzeń, a dodatkowo może zliczać tło. Zapis „osiem impulsów na sekundę” nie jest jeszcze informacją „osiem bekereli”. Najpierw trzeba ustalić, jaka część sygnału pochodzi od badanego źródła i co obejmuje wydajność pomiaru.

Porównujemy częstości, nie surowe liczby

Niech pomiar źródła wraz z tłem da Cₛ impulsów w czasie tₛ, a niezależny pomiar samego tła Cᵦ w czasie tᵦ. Przy stałym tle i niezmienionych warunkach estymata częstości po jego odjęciu wynosi:

r=\frac{C_s}{t_s}-\frac{C_b}{t_b}.

Każdy składnik ma jednostkę s⁻¹. Surowe liczby można odjąć bezpośrednio tylko przy jednakowych czasach. Równoważnie przeliczamy liczbę impulsów tła na czas pomiaru źródła: oczekiwany wkład to Cᵦtₛ/tᵦ, a potem dzielimy różnicę przez tₛ.

Przykład z różnymi czasami

W symulacji uzyskano 960 impulsów w 120 s przy źródle oraz 150 impulsów w 50 s samego tła. Częstości wynoszą 8 i 3 s⁻¹, więc źródłu przypisujemy 5 s⁻¹. Odjęcie 960 − 150 i podzielenie przez 120 dałoby 6,75 s⁻¹: zbyt wiele, ponieważ odjęto tło tylko z 50 sekund zamiast ze 120. Poprawny oczekiwany wkład tła w dłuższym pomiarze to 360 impulsów.

Od rejestracji do aktywności

Jeśli ε jest efektywną szansą uzyskania zliczenia z jednej przemiany w przyjętym modelu, aktywność R szacujemy jako r/ε. Dla ε = 0,25 wynik przykładu wynosi 20 Bq. Mnożenie przez wydajność dałoby wartość mniejszą od liczby zarejestrowanych zdarzeń na sekundę, choć pomijamy utratę trzech czwartych zdarzeń.

Czasem dane są rozdzielone: b to średnia liczba fotonów danej linii na przemianę, a εᵧ to prawdopodobieństwo zarejestrowania takiego wyemitowanego fotonu, obejmujące geometrię. Wtedy r = Rbεᵧ. Dla R = 80 Bq, b = 0,5 i εᵧ = 0,25 oczekujemy 10 s⁻¹. Gdy ε już zawiera b, ponowne mnożenie przez b liczyłoby ten sam efekt dwa razy.

Odjęte tło nadal wnosi niepewność

Dla niezależnych zliczeń Poissona i dokładnych czasów przybliżona standardowa niepewność różnicy wynosi:

u(r)\approx\sqrt{\frac{C_s}{t_s^2}+\frac{C_b}{t_b^2}}.

W naszym przykładzie daje to około 0,356 s⁻¹. Wariancje dodajemy, chociaż średnie częstości odejmujemy. Po podzieleniu przez dokładną wydajność 0,25 otrzymalibyśmy około 1,42 Bq niepewności aktywności; niepewna kalibracja wydajności wniosłaby następny składnik. Ujemna różnica przy słabym sygnale nie jest ujemną aktywnością. Może być skutkiem fluktuacji lub niespójnego modelu tła.

Warunki zastosowania

Zakładamy krótkie pomiary, w których aktywność jest praktycznie stała, oraz pomijamy czas martwy, nakładanie impulsów i aktywność produktów. Analizujemy dane modelowe, nie procedurę obchodzenia się ze źródłem. Wynik liczbowy jest estymatą w tym modelu; nie określa sam dawki ani właściwości każdej emisji.

Jak czytać niepewność wyniku, a nie tylko końcową liczbę?

Wróćmy do symulacji 960 impulsów w 120 s i 150 impulsów tła w 50 s. Otrzymane 5 s⁻¹ jest estymatą średniego sygnału. Przy powtórzeniu doświadczenia liczby impulsów zwykle byłyby inne, choć aktywność i ustawienie licznika nie uległyby zmianie. Zjawiska losowego nie opisujemy tak, jakby urządzenie musiało wystukiwać dokładnie pięć impulsów w każdej sekundzie.

Dla rozkładu Poissona wariancja liczby zdarzeń jest równa jej wartości oczekiwanej. Nie znamy tej ostatniej, więc przy dostatecznie dużych zliczeniach zastępujemy ją obserwowanym C. Standardowe niepewności częstości wynoszą wtedy √Cₛ/tₛ i √Cᵦ/tᵦ. Niezależność pomiarów pozwala dodać ich wariancje. Minus w estymacie r nie usuwa losowości pomiaru tła.

u(r)=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{960}}{120}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{150}}{50}\right)^2}\approx0{,}356\,\mathrm{s}^{-1}.

Niepewność 0,356 s⁻¹ nie oznacza ani błędu, który należy odjąć od wyniku, ani pewnej granicy wszystkich możliwych rezultatów. To jedna niepewność standardowa w przyjętym modelu. Dla bardzo małych zliczeń, zwłaszcza C = 0, proste podstawienie √C nie daje sensownej pełnej informacji o możliwej średniej; potrzebny jest rachunek przedziałów dla zliczeń, a nie wniosek, że niepewność wynosi dokładnie zero.

Kalibracja też ma swoją niepewność

Przyjmijmy teraz, że ε = 0,250 ma niezależną standardową niepewność 0,010. Dla R = r/ε mała zmiana r daje zmianę R równą Δr/ε, natomiast mała zmiana ε daje w pierwszym przybliżeniu −rΔε/ε². Po dodaniu wariancji:

u(R)\approx\sqrt{\left(\frac{u(r)}{\varepsilon}\right)^2+\left(\frac{r\,u(\varepsilon)}{\varepsilon^2}\right)^2}=\sqrt{(1{,}424)^2+(0{,}800)^2}\,\mathrm{Bq}\approx1{,}63\,\mathrm{Bq}.

Wynik można podać jako R = 20,0 Bq z u(R) ≈ 1,6 Bq. Samo dłuższe liczenie zmniejszy udział fluktuacji, lecz nie usunie niepewności kalibracji. Gdy po bardzo długim pomiarze pierwszy składnik stanie się mały, pozostanie drugi. To praktyczny powód, żeby przedłużanie pomiaru poprzedzić pytaniem, co naprawdę ogranicza dokładność.

Na co przeznaczyć dodatkowy czas w symulacji?

Załóżmy łączny czas tₛ + tᵦ = T oraz orientacyjnie znane częstości całkowitą rₛ i tła rᵦ. Wariancję estymaty zapisujemy jako rₛ/tₛ + rᵦ/tᵦ. Skrócenie jednego pomiaru do zera psuje wynik, nawet gdy drugi trwa bardzo długo. Minimum przy ustalonym T spełnia:

\frac{t_s}{t_b}=\sqrt{\frac{r_s}{r_b}}.

Dla 8 i 3 s⁻¹ oraz T = 240 s wychodzi około 149 s pomiaru całkowitego i 91 s tła. Odpowiada to u(r) ≈ 0,294 s⁻¹, przy dokładnych czasach i niezmiennym modelu. Podział po 120 s daje około 0,303 s⁻¹. Różnica jest niewielka: nie należy obiecywać wielkiej poprawy przez samo przestawienie zegarka. To wynik optymalizacji modelu danych, a nie instrukcja wykonywania pomiarów z rzeczywistym źródłem.

Próba samodzielna: mniej impulsów niż tła

Jeżeli otrzymasz 19 impulsów w 10 s i 200 impulsów tła w 100 s, różnica częstości wyniesie −0,1 s⁻¹. Nie oznacza to źródła o ujemnej aktywności. Przybliżone u(r) wynosi tutaj około 0,458 s⁻¹, więc znak małej różnicy sam nie rozstrzyga o obecności sygnału. Nie zamieniaj mechanicznie wszystkich ujemnych wyników na zero przed analizą serii: takie obcinanie przesuwa średnią w górę. Oddziel wynik pomiaru różnicy od fizycznego parametru, który ma być nieujemny.

Zadania do tego tematu

• Różne czasy pomiaru: pułapka przy odejmowaniu tła
• Okres połowiczny ukryty pod stałym tłem
• Linia gamma: wydajność to jeszcze nie wszystko

Dalsza lektura

Materiał referencyjny