Filtr RC dolnoprzepustowy: amplituda i opóźnienie sinusoidy

Potrzebne wiadomości: Prawo Ohma, pojemność kondensatora, sinusoida i jej faza. Zapis zespolony jest objaśniony w tekście; przy wyprowadzeniu przydaje się pochodna.

Najpierw ustalmy, co jest wejściem i wyjściem

Idealne źródło napięcia zasila szeregowo opornik R i kondensator C. Napięcie wejściowe mierzymy między zaciskami źródła, a wyjściowe między górną okładką kondensatora i wspólnym przewodem powrotnym. Wyjście jest nieobciążone: nie podłączamy do niego dodatkowej gałęzi pobierającej prąd. Przyjmujemy R > 0, C > 0 i idealne elementy skupione. Opór źródła, obciążenie i pasożytnicze właściwości elementów rozpatrzymy osobno.

Badamy sinusoidalny stan ustalony. Źródło działa dostatecznie długo, aby zanikł składnik przejściowy związany z początkowym ładunkiem kondensatora. Nie obliczamy tu przebiegu tuż po włączeniu. Dla napięcia wejściowego u_we(t) = U_we,m cos(ωt) odpowiedź ma tę samą częstotliwość, lecz inną amplitudę i fazę:

u_{wy}(t)=kU_{we,m}\cos(\omega t+\varphi),\qquad \omega=2\pi f.

Mała litera u oznacza wartość chwilową, a indeks m amplitudę, czyli wartość szczytową. Współczynnik k jest stosunkiem amplitud. Taki sam stosunek otrzymamy dla wartości skutecznych obu sinusoid. Nie wolno jednak dzielić amplitudy wyjścia przez wartość skuteczną wejścia: wprowadziłoby to dodatkowy czynnik √2.

Skąd bierze się zależność od częstotliwości?

Dla kondensatora q = Cu, więc prąd i = C du/dt. Szybsza zmiana napięcia wymaga większego prądu przy tej samej amplitudzie. Ten prąd wywołuje spadek napięcia na R. Dlatego przy dużej częstotliwości znaczna część napięcia źródła przypada na opornik, a amplituda napięcia kondensatora maleje. Nie chodzi o nagłe otwieranie i zamykanie przełącznika wewnątrz kondensatora.

W zapisie zespolonym sinusoidę przedstawiamy wektorem wskazowym. Jego długość opisuje amplitudę, a kierunek fazę. Liczba j spełnia j² = −1; mnożenie przez j obraca wektor o +90°. Przy konwencji czasowej e^jωt pochodnej odpowiada mnożenie przez jω. Impedancja, czyli zespolony stosunek napięcia do prądu, wynosi dla kondensatora Z_C = 1/(jωC), a dla opornika Z_R = R.

Dzielnik napięcia z impedancjami

Oba elementy przewodzą ten sam prąd. Z prawa oczek mamy U̲_we = I̲(R + Z_C), a napięcie wyjściowe U̲_wy = I̲Z_C. Podkreślenie odróżnia tutaj zespolony wektor wskazowy od zwykłej liczby określającej amplitudę. Dzielimy równania i mnożymy licznik oraz mianownik przez jωC:

H(j\omega)=\frac{\underline U_{wy}}{\underline U_{we}}=\frac{1/(j\omega C)}{R+1/(j\omega C)}=\frac{1}{1+j\omega RC}.

Funkcja H zawiera dwie informacje naraz: stosunek amplitud i przesunięcie fazowe. Wprowadźmy bezwymiarową liczbę x = ωRC. Mnożenie licznika i mianownika przez 1 − jx daje:

H=\frac{1-jx}{1+x^2},\qquad k=|H|=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad \varphi=-\arctan x.

Moduł mianownika 1 + jx jest długością przeciwprostokątnej trójkąta o przyprostokątnych 1 oraz x. Stąd pierwiastek z sumy kwadratów, a nie suma 1 + x. Ujemna faza oznacza, że wyjściowa sinusoida osiąga odpowiadające maksimum później niż wejściowa.

Częstotliwość graniczna nie oznacza zaniku sygnału

Dla x = 1 otrzymujemy k = 1/√2 ≈ 0,7071 oraz φ = −45°. Temu punktowi przypisujemy częstotliwość graniczną f_g:

\tau=RC,\qquad \omega_g=\frac{1}{RC},\qquad f_g=\frac{1}{2\pi RC},\qquad x=\frac{f}{f_g}.

Iloczyn RC ma jednostkę sekundy. Pulsacja ω_g ma jednostkę rad/s, a częstotliwość f_g herca; zamiana ich bez czynnika 2π daje błędny wynik. Przy f dużo mniejszej od f_g k jest bliskie 1 i faza bliska 0°. Przy f dużo większej od f_g k jest w przybliżeniu równe f_g/f, a faza zbliża się do −90°. Dla żadnej skończonej dodatniej częstotliwości model nie daje dokładnie zerowej amplitudy.

Określenie „punkt połowy mocy” wymaga ostrożności. Kwadrat stosunku amplitud wynosi wtedy 1/2, więc taki byłby stosunek mocy porównywanych na jednakowych oporach. Idealny kondensator nie pobiera jednak średniej mocy czynnej. Nie wynika stąd, że połowa mocy źródła zostaje w kondensatorze, ani że sprawność energetyczna tego obwodu wynosi 50%.

Przykład: filtr przy częstotliwości granicznej

Niech R = 10 kΩ i C = 10 nF. Najpierw przeliczamy jednostki: RC = 10⁴ Ω · 10⁻⁸ F = 10⁻⁴ s = 100 µs. Zatem ω_g = 10 000 rad/s oraz f_g ≈ 1591,55 Hz. Jeśli amplituda wejścia wynosi 2,00 V i f = f_g, amplituda wyjścia jest równa √2 V ≈ 1,414 V.

u_{wy}(t)=\sqrt2\,\mathrm{V}\cos\left(10^4\,\mathrm{s}^{-1}t-\frac{\pi}{4}\right).

Przesunięcie o 45° odpowiada jednej ósmej okresu. Przy tej częstotliwości opóźnienie odpowiadających maksimów wynosi (π/4)/ω = 78,54 µs. Nie jest to stałe opóźnienie filtru dla dowolnego przebiegu. Dla innej częstotliwości zmieniają się zarówno faza, jak i stosunek −φ/ω.

Dlaczego amplitud nie dodajemy jak długości przewodów?

W każdej chwili u_we = u_R + u_C. Ta równość nie znaczy, że U_we,m = U_R,m + U_C,m: maksima obu napięć nie występują jednocześnie. Przy x = 1 każdy element ma amplitudę U_we,m/√2. Wektory napięć tworzą kąt prosty, więc suma ma moduł √(U²/2 + U²/2) = U, zgodny ze źródłem.

Przed podstawieniem liczb sprawdź zawsze: na którym elemencie jest wyjście, czy badamy stan ustalony, czy użyte napięcia są tego samego rodzaju i czy wyjście rzeczywiście jest nieobciążone. Zmiana jednego z tych warunków może zmienić odpowiedź, mimo że na rysunku nadal widać tylko R i C.

Zadania do tego tematu

• Napięcie skuteczne i faza przy połowie częstotliwości granicznej
• Pojemność wyznaczona z tłumienia sinusoidy
• Dlaczego dwa napięcia po 2,12 wolta dają razem 3 wolty?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny