Wahadło skrętne: wyznacz moment bezwładności z różnicy kwadratów okresów

Potrzebne wiadomości: Moment siły, bezwładność obrotowa, ruch harmoniczny, radiany i porównywanie pomiarów.

Co przywraca orientację?

Rozpatrujemy sztywną tarczę lub platformę obracającą się wokół pionowej osi drutu. Ciężar i siła podtrzymująca nie dają składowej momentu wokół tej osi. Energia grawitacyjna nie zmienia się podczas idealnego obrotu poziomego. Powrót wywołuje odkształcenie sprężyste drutu albo odpowiedniej sprężyny skrętnej. Ruch boczny, kołysanie i skręcanie są różnymi drganiami; podczas pomiaru chcemy obserwować wyłącznie ostatnie z nich.

Oznaczmy odchylenie od swobodnej orientacji przez θ. W liniowym zakresie sprężystości moment przywracający ma postać M = −κθ. κ jest sztywnością skrętną o jednostce N·m/rad. Radian jest bezwymiarowy w analizie jednostek, ale zapis „na radian” przypomina, jakie liczby należy wstawiać. κ nie jest masowym momentem bezwładności I: pierwsza wielkość opisuje sprężyste przywracanie, druga opór wobec przyspieszania obrotu.

Równanie, okres i energia

Jeśli I oznacza moment bezwładności całej obracającej się części względem osi drutu, a tłumienie jest pomijalne, to:

I\ddot\theta+\kappa\theta=0,\qquad \omega_0=\sqrt{\frac\kappa I},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac I\kappa}.

Iloraz I/κ ma jednostkę s². Większa bezwładność przy niezmienionym drucie wydłuża okres, a większa sztywność przy tej samej bezwładności go skraca. Jeżeli I = 0,0060 kg·m² i κ = 0,0120 N·m/rad, otrzymujemy T ≈ 4,443 s. Podwojenie I zwiększyłoby ten okres o czynnik √2, nie dwa razy.

Praca powolnego skręcania od zera do θ wynosi całkę z momentu κθ, więc energia sprężysta to κθ²/2. Podczas swobodnego ruchu zamienia się w Iθ̇²/2:

E=\frac12I\dot\theta^2+\frac12\kappa\theta^2.

Przy maksymalnym skręceniu prędkość jest zerowa. Przy przejściu przez orientację równowagi moment przywracający chwilowo znika, lecz tarcza ma wtedy największą prędkość. Zerowy moment nie oznacza zerowej prędkości. Okres idealnego liniowego modelu nie zależy od amplitudy; w rzeczywistym zawieszeniu trzeba najpierw sprawdzić zakres, w którym M jest proporcjonalne do θ.

Jak sprawdzić sztywność bez uruchamiania drgań?

Przyłóż znany moment zewnętrzny i poczekaj na równowagę. Dla siły F prostopadłej do ramienia r moment wynosi Fr, więc κ = Fr/θ. Kąt liczymy od swobodnej orientacji i zamieniamy na radiany. Przy sile skośnej do promienia trzeba użyć właściwej składowej stycznej, a nie samego F.

Lepiej zmierzyć kilka momentów w obie strony niż podzielić jeden odczyt przez bardzo mały kąt. Nachylenie wykresu M(θ) powinno być w przybliżeniu stałe. Przesunięte zero kąta wpływa na wyraz wolny; krzywizna lub różne przebiegi przy skręcaniu i odkręcaniu sygnalizują, że pojedyncza stała κ nie opisuje całego zakresu. Próbę wykonujemy w odwracalnym zakresie sprężystości, bez trwałego skręcenia.

Promień drutu działa inaczej niż promień obracającej się tarczy

Dla jednorodnego okrągłego drutu długości L_d, promienia r_d i modułu ścinania G, w prostym modelu sprężystego skręcania:

\kappa=\frac{GJ_p}{L_d},\qquad J_p=\frac{\pi r_d^4}{2}.

J_p jest biegunowym momentem bezwładności pola przekroju, o jednostce m⁴. To wielkość geometryczna. Nie wolno wstawić go w miejsce I o jednostce kg·m². Przy stałym I i pozostałych parametrach podwojenie promienia drutu daje 16 razy większe κ i cztery razy krótszy okres. Formuła zakłada liniową sprężystość i pomijalny wpływ bezwładności samego drutu na rozpatrywany ruch. Do pomiaru I nie musimy jej używać: możemy skalibrować rzeczywiste zawieszenie.

Kalibracja dynamiczna usuwa nieznany wkład platformy

Niech I₀ będzie momentem platformy wraz ze wszystkimi stale obecnymi mocowaniami. Mierzymy jej okres T₀. Potem dodajemy współosiowo wzorzec o znanym momencie I_r i mierzymy T_r. Sztywność drutu ma pozostać taka sama:

T_0^2=\frac{4\pi^2I_0}{\kappa},\qquad T_r^2=\frac{4\pi^2(I_0+I_r)}{\kappa},\qquad \kappa=\frac{4\pi^2 I_r}{T_r^2-T_0^2}.

To różnica kwadratów, nie kwadrat różnicy. Platforma nie znika fizycznie; znosi się jej wkład w odejmowanych równaniach. Po zamianie wzorca na nieznany przedmiot o momencie I_x i zmierzeniu T_x dostajemy:

I_x=I_r\frac{T_x^2-T_0^2}{T_r^2-T_0^2}.

Wynik dotyczy samego dodanego przedmiotu, ponieważ odjęto pomiar platformy. Wszystkie momenty muszą odnosić się do tej samej osi. Jeśli środek masy przedmiotu znajduje się poza nią, otrzymamy moment względem osi zawieszenia; przejście do osi centralnej wymaga znajomości przesunięcia i twierdzenia Steinera.

Przykład: trzy okresy, jeden nieznany przedmiot

Niech T₀ = 1,20 s, T_r = 1,80 s i I_r = 0,00200 kg·m². Różnica kwadratów okresów wzorca i platformy to 3,24 − 1,44 = 1,80 s². Stąd κ ≈ 0,04386 N·m/rad i I₀ = 0,00160 kg·m². Dla T_x = 2,10 s:

I_x=0{,}00200\frac{4{,}41-1{,}44}{3{,}24-1{,}44}=0{,}00330\ \mathrm{kg\,m^2}.

Całość obracająca się w ostatnim pomiarze ma I₀ + I_x = 0,00490 kg·m². Pominięcie platformy przypisałoby cały ten moment badanemu przedmiotowi. Odejmowanie samych okresów również da inny wynik, bo T jest proporcjonalne do pierwiastka z I, a nie do I.

Co musi pozostać stałe podczas trzech pomiarów?

Nie zmieniamy długości drutu, sposobu zamocowania, temperatury w istotnym stopniu ani zakresu sprężystości. Dokładane elementy mocujemy sztywno i współosiowo; ich poślizg lub osobne kołysanie łamie założenie jednej bryły. Obciążenie może też zmienić rzeczywiste zawieszenie, dlatego zgodność κ trzeba sprawdzić, a nie zakładać na podstawie samego wyglądu stanowiska.

Jeżeli T_r jest niemal równe T₀, odejmujemy bliskie liczby. Małe błędy czasu mogą wtedy wywołać duży względny błąd różnicy. Z kolei okres krótszy po dodaniu dodatniej bezwładności przeczy modelowi stałego κ: trzeba sprawdzić liczenie cykli, geometrię i zawieszenie, zamiast ogłaszać ujemny moment bezwładności.

Porównaj przywracanie sprężyste z grawitacyjnym wahadłem fizycznym.

Zadania do tego tematu

• Kąt w stopniach: statyczna kalibracja zawieszenia skrętnego
• Dwa małe ciężarki kalibrują moment platformy
• Czy nieznany przedmiot może być jednorodnym dyskiem?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny