Równe pędy, różne prędkości produktów rozpadu

Rozwiązanie

Wartości a zwroty wektorów

Przez stosunek prędkości rozumiemy stosunek ich wartości, dodatni. Wektory mają przeciwne zwroty. Równe wartości pędów dają odwrotny stosunek mas zarówno dla szybkości, jak i nierelatywistycznych energii.

\frac{v_m}{v_M}=\frac{M}{m}=\frac{206}{4}=51{,}5

\frac{T_m}{T_M}=\frac{M}{m}=51{,}5

Ilorazy zależą tylko od mas, więc Q nie jest potrzebne. Bez Q lub innej informacji o energii nie obliczymy jednak osobnych prędkości. Wektory pędu i prędkości produktów mają przeciwne zwroty.

Odpowiedź: oba stosunki wynoszą 51,5; znajomość Q nie jest potrzebna do tych ilorazów.

Czego stosunek nie określa?

Wynik 51,5 nie pozwala wybrać konkretnej szybkości w m/s. Wiele par przeciwnych pędów zachowuje ten stosunek, a ich skala zależy od Q. Dane ustalają proporcję, nie bezwzględną energię ruchu.

Wyprowadź oba stosunki osobno

Zapis pₘ = −pᴍ dotyczy wektorów. Dla wartości mvₘ = Mvᴍ, więc vₘ/vᴍ = M/m. Gdyby porównywać podpisane składowe wzdłuż jednej osi, iloraz miałby znak minus. W zadaniu pytamy o wartości, dlatego 51,5 jest dodatnie.

Przy energiach można zacząć także od T = mv²/2. Wtedy:

\frac{T_m}{T_M}=\frac{m}{M}\left(\frac{v_m}{v_M}\right)^2=\frac mM\left(\frac Mm\right)^2=\frac Mm.

Wynik 51,5² byłby skutkiem pominięcia pierwszego czynnika m/M. Wynik jeden oznaczałby z kolei pomylenie równości pędów z równością energii. Równanie pokazuje, dlaczego obie poszukiwane proporcje w tym modelu mają tę samą wartość, choć energia zależy od kwadratu szybkości.

Rodzina rozwiązań zamiast jednej szybkości

Nie znamy skali pędu. Możemy wybrać, tylko jako przykład spełniający model, vᴍ = 10⁴ m/s. Wtedy vₘ = 5,15 · 10⁵ m/s. Jeśli obie szybkości podwoimy, stosunek pozostanie 51,5, pędy wzrosną dwukrotnie, a energie czterokrotnie. Nowa para opisuje inną wartość Q.

Dlatego jedna proporcja nie daje wartości bezwzględnych. Przy znanych masach i wybranym Q wspólny pęd wyniósłby √(2μQ), gdzie μ = mM/(m+M). Jeżeli Q zwiększymy czterokrotnie w zakresie ważności przybliżenia, obie szybkości zwiększą się dwukrotnie. Nie zmieni to udziałów energii ani ich stosunku.

Granica, której łatwo nie zauważyć

Zakładamy dodatnią energię ruchu i dwa rzeczywiście rozchodzące się produkty. Dla Q = 0 w tym modelu obie szybkości i energie byłyby zerowe. Iloraz 0/0 nie wynosi wtedy 51,5; można jedynie mówić o granicy stosunku dla Q dążącego do zera od strony dodatniej.

Przy dużych energiach równość przeciwnych pędów nadal zachodzi w układzie spoczynkowym rodzica, ale p = mv nie jest już właściwą relacją. Relatywistycznie v = pc²/E, więc stosunek szybkości zależy od całkowitych energii, nie wyłącznie od mas spoczynkowych. Podane nierelatywistyczne założenie nie jest ozdobą treści: właśnie ono pozwoliło wyeliminować Q z obydwu odpowiedzi.

Powiązana teoria

Podział energii w rozpadzie dwuciałowym

Dalsza lektura

Materiał referencyjny