Narzędzia matematyczne i obliczenia fizyczne

Spacer trwał od 25 do 35 minut, ze średnią szybkością od 1,0 do 1,4 m/s. Wyznacz skrajne drogi zgodne z tymi ograniczeniami. Nie zakładaj dodatkowej zależności między czasem i szybkością.

Powierzchnię 40 m² pokrywamy mokrą warstwą grubości 0,10 mm. Oszacuj objętość i porównaj z pojemnikiem 5 l. Pomijamy straty, chłonność i zmianę objętości podczas schnięcia.

Stos 400 kartek ma grubość około 4,0 cm. Oszacuj grubość kartki w milimetrach i podaj jedno ograniczenie metody.

Przyjmij salę 8 m × 6 m × 3 m i gęstość powietrza 1,2 kg/m³. Oszacuj masę powietrza, pomijając meble i ludzi. Czy dokładność do jednego grama byłaby uzasadniona?

W modelu bezwymiarowym μ = 1 ciało zaczyna w R = (1; 0), V = (0; 0,8). Wyznacz E*, L*, półoś wielką a, mimośród e, perycentrum r_p oraz szybkość v_p. Skorzystaj z a = −1/(2E*) i e² = 1 + 2E*L*². Porównaj wskaźnik hv_p/r_p dla h = 0,10 i 0,025. Czy mniejszy wskaźnik sam zapewnia dokładną orbitę?

Orbita bezwymiarowa zaczyna się w R = (1; 0), V = (0; 1). Do τ = 20 Verlet daje dla h = 0,10 punkt (0,464374237; 0,887268035), a dla h = 0,05 punkt (0,422345289; 0,906840622). W obu symulacjach L* pozostaje równe 1 do błędu zaokrągleń. Maksymalne względne błędy energii wynoszą około 2,46282 · 10⁻⁵ oraz 1,55664 · 10⁻⁶. Policz błędy położenia względem koła dokładnego i oceń, który wynik spełnia tolerancję 0,020 jednostki długości. Dlaczego same niezmienniki nie wystarczają?

Wybierz R₀ = 7,00 · 10⁶ m i modelowy parametr μ = 4,00 · 10¹⁴ m³/s². Wyznacz T₀, V₀ oraz okres kołowy. Jaki krok w sekundach odpowiada bezwymiarowemu h = 0,020? Przelicz początkowe E* = −1/2 i L* = 1 na energię oraz moment pędu na jednostkę masy. Są to parametry zadania, nie deklaracja dokładnych stałych konkretnej planety.

Ciało o m = 0,20 kg i c = 0,010 kg/m ma w pewnej chwili v = (12; 16) m/s; g = 10 m/s². Porównaj poprawny opór −c|v|v z błędnym F = (−cv_x|v_x|; −cv_y|v_y|). Oblicz oba wektory oporu, oba przyspieszenia i poprawną moc oporu. Czy sam ujemny bilans mocy wykryje błędny model składowych?

Heun z h = 0,10 s dla m = 0,20 kg, c = 0,010 kg/m, g = 10 m/s² i startu (x; y; v_x; v_y) = (0; 0; 12; 16) daje: w t = 2,4 s — x = 16,051747648 m, y = 0,144266508 m; w 2,5 s — x = 16,427499382 m, y = −0,867894835 m. Wyznacz czas i zasięg metodą liniowej interpolacji zdarzenia. Oszacuj błąd wynikający z uznania drugiego wiersza za lądowanie. W drobniejszej symulacji h = 0,05 s otrzymano zasięg 16,116081388 m. Czy wolno ogłosić pierwszy wynik dokładnym do 0,001 m?

Dla m = 0,20 kg, c = 0,010 kg/m, g = 10 m/s² i stanu S₀ = (0; 0; 12; 16) w jednostkach SI wykonaj jeden krok Heuna h = 0,10 s. Podaj oba przyspieszenia, predyktor i końcowy stan. Programista zamiast średniej K₁ i K₂ dodaje całe hK₂ do predyktora S*. Wyjaśnij, czemu jego operacja nie realizuje metody Heuna.

Dla oscylatora o ω = 2 rad/s porównaj Verlet z krokami 0,25 s i 0,125 s w chwili T = 20 s. Użyj θ = 2arcsin(hω/2) oraz ω_num = θ/h. Oblicz błąd fazy (ω_num − ω)T, zdecyduj, który krok spełnia tolerancję 0,15 rad, i wyjaśnij, czemu sprawdzenie wyłącznie energii mogłoby tego nie wykryć.

W symulacji Verleta oscylatora m = 1 kg, k = 4 N/m, x₀ = 0,50 m, v₀ = 0 i h = 0,25 s zapisano energie: w t = 0,50 s — 0,477569580 J, w 0,75 s — 0,468843460 J, w 1 s — 0,474678159 J. Autor uznał pierwszy spadek za dowód tarcia. Oceń wniosek, oblicz dopuszczalny przedział energii dla tego schematu i podaj dodatni krok gwarantujący w arytmetyce dokładnej maksymalne względne odchylenie energii nie większe niż 1% dla tego startu.