Okres połowiczny ukryty pod stałym tłem

Rozwiązanie

Porównujemy ten sam składnik sygnału

Stałe tło nie zanika wraz ze źródłem. Odjęcie go od obu częstości jest konieczne, zanim rozpoznamy liczbę okresów połowicznych. Wydajność nie musi być równa jeden; wystarczy, że pozostaje taka sama.

Po odjęciu tła mamy r_1=40\,\mathrm{s}^{-1} i r_2=10\,\mathrm{s}^{-1}. Wydajność się skraca:

\frac{R_2}{R_1}=\frac{10}{40}=\frac14=2^{-1800/T_{1/2}}

Minęły dwa okresy, więc T_{1/2}=1800/2=900\,\mathrm{s}. Użycie częstości całkowitych dałoby błędny stosunek 1/3.

Odpowiedź: 900 s, czyli 15 minut.

Dlaczego surowy stosunek myli?

W późniejszym pomiarze tło stanowi większą część całości. Stosunek 15/45 opisuje sumę dwóch składników, z których tylko jeden maleje wykładniczo. Poprawne 10/40 odnosi się do badanego źródła.

Zbuduj model obu pomiarów

Niech r₀ oznacza częstość pochodzącą od źródła podczas pierwszego pomiaru. Model częstości całkowitej po czasie t ma postać:

r_{\text{całk}}(t)=r_0\,2^{-t/T_{1/2}}+r_b.

Pierwsza obserwacja ustala r₀ + 5 = 45, czyli r₀ = 40 s⁻¹. Druga daje 40 · 2⁻¹⁸⁰⁰⁄ᵀ + 5 = 15. Dopiero usunięcie wspólnej stałej 5 zostawia wykładniczy składnik. Po jednym okresie mamy 20 + 5 = 25 s⁻¹, po dwóch 10 + 5 = 15 s⁻¹. Całość nie maleje z 45 do 22,5, a następnie do 11,25, bo tło nie dzieli się przez dwa.

Gdy stosunek nie jest dokładną potęgą dwóch

Rozpoznanie 1/4 było wygodne, ale nie jest osobną zasadą fizyki. Dla dowolnych dodatnich częstości źródła r₁ > r₂ po czasie Δt możemy zalogarytmować równanie r₂/r₁ = 2⁻Δᵗ⁄ᵀ. Otrzymujemy:

T_{1/2}=\frac{\Delta t\ln 2}{\ln(r_1/r_2)}.

Podstawienie 40 i 10 daje 1800 ln 2 / ln 4 = 900 s. Gdyby ktoś użył 45 i 15, otrzymałby około 1136 s. To wynik zawyżony o około 26,2% względem prawidłowych 900 s. Dodane stałe tło sprawia, że względny spadek całego sygnału wygląda na wolniejszy.

Sprawdź przewidywanie, którego nie użyto w rachunku

Po dalszych 900 s, czyli łącznie po 2700 s, źródło da 5 s⁻¹, a całkowita częstość wyniesie 10 s⁻¹. Po bardzo długim czasie wykres zbliży się do 5 s⁻¹, nie do zera. Na rysunku kreskowana linia tła jest poziomą asymptotą; nie oznacza chwili, w której rozpad nagle się zatrzymuje.

W zadaniu pomiary są krótkie. Dzięki temu każdy odczyt przypisujemy jednej chwili. Gdy okno obserwacji trwa Δ porównywalne z okresem, licznik podaje średnią po tym oknie. Dla r(t) = rₐe⁻λ⁽ᵗ⁻ᵗᵃ⁾ średnia od tₐ do tₐ + Δ wynosi rₐ(1 − e⁻λΔ)/(λΔ). Nie jest dokładnie wartością z początku okna. Równe długości okien nadal dają ten sam wykładniczy stosunek, jeśli porównujemy ich odpowiadające sobie początki; różne długości wymagają osobnego uwzględnienia tego czynnika.

Nie zmieniamy też geometrii ani wydajności między pomiarami. Gdyby licznik za drugim razem rejestrował tylko połowę wcześniejszej części promieniowania, sama proporcja zliczeń nie odróżniłaby tej zmiany od dodatkowego spadku aktywności. Stałość wydajności jest potrzebną informacją, choć jej konkretna wartość skraca się w rachunku.

Powiązana teoria

Tło i wydajność: co mierzy licznik

Dalsza lektura

Materiał referencyjny