Narzędzia matematyczne i obliczenia fizyczne

W fizyce opisujemy wielkości skalarne i wektorowe. Skalar, na przykład masa, czas trwania, temperatura lub praca, ma wartość liczbową w wybranej jednostce. Może mieć także znak, jeśli wynika on z definicji wielkości; skalar nie jest synonimem liczby dodatniej. Wektor, na przykład przemieszczenie, prędkość, przyspieszenie, siła lub pęd, opisujemy wartością, kierunkiem i zwrotem. Zapis ze strzałką odróżnia wektor od jego nieujemnej długości.

Czy w pokoju jest kilogram powietrza, czy raczej tona? Zanim zaczniemy szukać dokładnych danych, możemy sprawdzić skalę wyniku. Przy szacowaniu najważniejsze są jawne założenia, a nie długa liczba po przecinku.

Nachylenie wykresu mówi, jak szybko coś się zmienia. Pole pod wykresem odpowiada na inne pytanie: ile tej wielkości zebrało się w czasie? Sens pola zależy od opisów osi, a nie od samego kształtu rysunku.

Ładna, zamknięta pętla nie wystarcza, aby uznać symulację orbity za poprawną. Wyprowadzimy bezwymiarowy model, zrobimy jeden krok w pełnych współrzędnych i sprawdzimy trzy rzeczy osobno: energię, moment pędu i położenie satelity w ustalonej chwili. Jedna z tych wielkości może wyglądać doskonale nawet przy widocznym błędzie toru.

Przy oporze powietrza ruch poziomy i pionowy przestają być niezależne: obie siły oporu zależą od całkowitej szybkości. Zbudujemy pełny stan lotu, wykonamy dwa oszacowania przyspieszenia w kroku Heuna i sprawdzimy jeszcze jeden błąd, który łatwo przeoczyć: zapisanie punktu pod ziemią jako miejsca lądowania.

Idealna sprężyna nie dostarcza energii znikąd. Tymczasem prosta symulacja może z każdym okresem zwiększać amplitudę. Wyprowadzimy metodę Verleta z prędkością, porównamy jej bilans z jawnym Eulerem i zobaczymy, dlaczego mały błąd energii nie wystarcza do poprawnego przewidywania fazy drgań.

Równanie ruchu mówi, jak zmienia się prędkość w danej chwili. Symulacja musi z tej informacji zbudować kolejne chwile. Na spadaniu z oporem liniowym sprawdzimy, kiedy taki rachunek odtwarza fizykę, a kiedy sam wytwarza oscylacje. Mamy tu rozwiązanie dokładne, więc nie trzeba ufać samemu wyglądowi wykresu.

Regularne pomiary mogą sprawić, że szybkie drganie będzie wyglądało jak znacznie wolniejsze. Pokażemy równość próbek dwóch różnych sinusoid, sprawdzimy pułapkę dokładnie dwóch próbek na okres i zaplanujemy filtrację przed przetwarzaniem analogowo-cyfrowym.

Komputer otrzymuje skończony ciąg próbek, a nie nieskończenie długą falę. Wyjaśnimy, co oblicza dyskretna transformata Fouriera, jak przeliczyć jej wynik na amplitudę i dlaczego czysta sinusoida może dać wiele niezerowych prążków. Porównamy wydłużenie pomiaru z dopisaniem zer do już zebranych danych.

Dwa przebiegi mogą wyglądać zupełnie inaczej, a dawać taki sam efekt cieplny w oporniku. Twierdzenie Parsevala pozwala obliczyć średni kwadrat z amplitud harmonicznych. Pokażemy, dlaczego fazy różnych harmonicznych nie zmieniają tego wyniku i dlaczego dwie sinusoidy o tej samej częstotliwości trzeba najpierw zsumować.

Czujnik drgań rzadko pokazuje idealną sinusoidę. Szereg Fouriera pozwala opisać powtarzający się ruch przez średnie wychylenie oraz sinusoidy o określonych amplitudach i fazach. Wyprowadzimy współczynniki i sprawdzimy, co oznacza obcięcie takiego szeregu do kilku składników.

Wartości takie jak \sqrt3/2 warto zostawiać w postaci dokładnej aż do końca obliczeń. Tabela pomaga je odczytać, ale dwa proste trójkąty pozwalają je również samodzielnie odtworzyć. Zobaczmy, skąd biorą się sinus, cosinus i tangens kątów 30°, 45° oraz 60°.