Lepkość Newtonowska: siła zależy od gradientu prędkości

Potrzebne wiadomości: Siła, pole powierzchni, prędkość; przeliczanie milimetrów na metry; nachylenie prostej.

Przesuwamy płytkę, a nie ściskamy ciecz

Między dwiema szerokimi, równoległymi płytkami znajduje się cienka warstwa cieczy. Dolna płytka spoczywa; górną przesuwamy poziomo ze stałą prędkością U. Aby podtrzymać ruch, trzeba działać siłą wzdłuż powierzchni płytki. To siła styczna, odmienna od nacisku prostopadłego, którym posługiwaliśmy się przy obliczaniu ciśnienia.

Po uruchomieniu układu ciecz przez pewien czas przyspiesza. Dalej przyjmujemy przepływ laminarny równoległy do płytek, w stanie ustalonym: prędkość w wybranym punkcie nie zmienia się już z czasem. Pomijamy efekty przy krawędziach płytek, zakładamy stałą temperaturę i brak gradientu ciśnienia w kierunku ruchu. Ten ostatni warunek jest potrzebny: dodatkowa różnica ciśnień zmieniłaby profil prędkości.

Warunek braku poślizgu nie unieruchamia całej cieczy

W naszym modelu ciecz bezpośrednio przy powierzchni ma taką samą prędkość jak ta powierzchnia. Przy dolnej płytce prędkość wynosi zero, przy górnej U. Pomiędzy nimi prędkość u zależy od wysokości y, mierzonej od dolnej płytki. Przy odstępie h profil dla cieczy Newtonowskiej ma postać prostej:

u(y)=U\frac{y}{h},\qquad u(0)=0,\qquad u(h)=U.

Warstwa położona w połowie szczeliny porusza się z prędkością U/2. Nie oznacza to, że każda porcja cieczy przyspiesza od zera do U w trakcie przepływu przez tę ustaloną część układu. Porównujemy równocześnie różne wysokości. Cząstki poruszają się także mikroskopowo i mogą dyfundować; uporządkowany przepływ laminarny nie oznacza braku ruchu cieplnego.

Jak szybko warstwy przesuwają się względem siebie?

Dwie bliskie warstwy, odległe o Δy, mają prędkości różniące się o Δu. W czasie Δt ich względne przesunięcie wynosi Δu·Δt. Iloraz tego przesunięcia i odległości jest małym odkształceniem postaciowym; jego przyrost na sekundę wynosi Δu/Δy. To szybkość ścinania. Dla profilu prostoliniowego jest jednakowa w całej szczelinie:

\dot\gamma=\frac{\Delta u}{\Delta y}=\frac{U}{h},\qquad [\dot\gamma]=\frac{\mathrm{m/s}}{\mathrm m}=\mathrm{s^{-1}}.

Kropka nad γ informuje o szybkości zmiany odkształcenia. Nie opisuje przyspieszenia. Gdy profil jest zakrzywiony, iloraz dla całej szczeliny nie wystarcza do opisu każdego punktu. Wówczas używamy lokalnego nachylenia du/dy.

Prawo materiałowe: naprężenie i lepkość

Średnie naprężenie ścinające τ jest siłą styczną podzieloną przez pole A. Dla rozpatrywanego prostego ścinania cieczy Newtonowskiej naprężenie jest proporcjonalne do szybkości ścinania. W poniższym zapisie porównujemy dodatnie wartości siły potrzebnej do ciągnięcia górnej płytki i różnicy prędkości:

\tau=\frac{F}{A}=\eta\dot\gamma,\qquad F=\eta A\frac{U}{h}.

Współczynnik η to lepkość dynamiczna. Bywa też oznaczany literą μ. Jej jednostką jest Pa·s, ponieważ Pa·s pomnożone przez s⁻¹ daje Pa. Większa lepkość wymaga większej siły przy tej samej geometrii i różnicy prędkości. Sama wartość siły nie charakteryzuje materiału: zależy także od pola, odstępu i ruchu płytek.

Ciecz ciągnie górną płytkę przeciwnie do jej ruchu; zewnętrzny napęd równoważy tę siłę. Górna płytka działa na ciecz w drugą stronę. Znaki naprężeń zależą od wyboru powierzchni i osi, dlatego przy używaniu wartości bezwzględnych trzeba osobno zaznaczyć kierunki sił. Nie zastępuj tego prawa wzorem na tarcie suche F = μN: występująca tam litera μ oznacza inną wielkość, bez jednostki.

Przykład: od milimetrów do mocy

Przyjmijmy olej modelowy o η = 0,12 Pa·s, pole A = 0,020 m², szczelinę h = 1,5 mm i prędkość U = 0,030 m/s. Podana lepkość dotyczy utrzymywanej temperatury próbki. Najpierw zmieniamy h na 0,0015 m. Następnie obliczamy szybkość ścinania, naprężenie i siłę:

\dot\gamma=\frac{0{,}030}{0{,}0015}=20\ \mathrm{s^{-1}},\qquad \tau=0{,}12\cdot20=2{,}4\ \mathrm{Pa}.

F=\tau A=2{,}4\ \mathrm{N/m^2}\cdot0{,}020\ \mathrm{m^2}=0{,}048\ \mathrm N.

Jeżeli omyłkowo wstawimy 1,5 bez zamiany milimetrów, wynik będzie tysiąc razy za mały. Napęd przesuwa punkt przyłożenia siły z prędkością U, więc dostarcza moc:

P=FU=0{,}048\cdot0{,}030=0{,}00144\ \mathrm W=1{,}44\ \mathrm{mW}.

Ruch jest ustalony, więc ta energia nie zwiększa stale energii kinetycznej przepływu. Jest rozpraszana przez lepkość i ostatecznie zwiększa energię wewnętrzną lub odpływa do otoczenia. Utrzymanie stałej temperatury wymaga uwzględnienia tego odpływu. Przy podwojeniu U siła się podwaja, ale moc rośnie czterokrotnie: oba czynniki w FU rosną dwa razy.

Gęstość i lepkość odpowiadają na różne pytania

Gęstość ρ mówi o masie jednostki objętości. Lepkość η mówi o naprężeniu potrzebnym do uzyskania określonej szybkości ścinania. Nie można wyliczyć jednej tylko z drugiej. Do analizy przepływu przydaje się również lepkość kinematyczna:

\nu=\frac{\eta}{\rho},\qquad [\nu]=\mathrm{m^2/s}.

Jeśli nasz olej ma ρ = 800 kg/m³, to ν = 0,00015 m²/s = 150 mm²/s. Jeden metr kwadratowy odpowiada milionowi milimetrów kwadratowych. Nie zamieniamy więc 0,00015 m²/s na 0,15 mm²/s. Wielkość ν przyda się w liczbie Reynoldsa, lecz we wzorze F = ηAU/h potrzebna jest η.

Jak sprawdzić założenie Newtonowskie?

Wykonajmy pomiary τ dla kilku szybkości ścinania przy tej samej temperaturze. Proporcjonalność oznacza prostą przechodzącą przez początek układu oraz stały iloraz τ/γ̇ w badanym zakresie. Jeśli iloraz wyraźnie zmienia się ze wzrostem γ̇, jedna stała η nie opisuje tych pomiarów. Możemy wtedy podawać lepkość pozorną dla wskazanej szybkości, ale nie wolno dowolnie przenosić jej na inne warunki.

Trzy zgodne punkty nie dowodzą, że materiał zachowuje się Newtonowsko przy każdej temperaturze i dowolnie dużym ścinaniu. Samo rozrzedzenie próbki podczas długiego pomiaru może wynikać z nagrzewania. Rozróżnienie zmiany temperatury, zależności od ścinania i zależności od czasu wymaga odpowiednio zaplanowanego doświadczenia.

Sprawdź rozumienie: jeśli obie płytki i cała ciecz poruszają się z tą samą stałą prędkością, gradient prędkości jest zerowy. W tym modelu nie ma naprężenia lepkościowego od prostego ścinania, choć prędkość względem sali nie jest zerowa. Liczy się ruch względny sąsiednich warstw.

Zadania do tego tematu

• Lepkość — zadanie: wyznaczenie współczynnika z siły na płytce
• Lepkość — zadanie: obie płytki poruszają się w tę samą stronę
• Lepkość — zadanie: czy pomiary uzasadniają model Newtonowski?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny