Spróbuj samodzielnie

Średnia szybkość to cała droga podzielona przez cały czas. Motocyklista dłużej jedzie z szybkością 20 km/h. Nie wystarczy średnia arytmetyczna obu szybkości.

1. Oznacz długość drogi w jedną stronę przez s. Czasy przejazdu wynoszą t₁ = s/80 i t₂ = s/20, gdy s podajemy w kilometrach, a czas w godzinach.
2. vśr = 2s / (s/80 + s/20) = 2 · 80 · 20 / (80 + 20) = 32 km/h.
3. W jednostkach SI jest to 32/3,6 ≈ 8,889 m/s. Wynik 50 km/h byłby poprawny dla równych czasów jazdy, a tutaj równe są drogi.

Dlaczego nie 50 km/h?

Średnia arytmetyczna 80 i 20 nadaje obu szybkościom takie samo znaczenie. Tymczasem wolniejszy przejazd trwa cztery razy dłużej. Definicja średniej szybkości porównuje całą drogę z całym czasem, więc długi czas wolnej jazdy nie może zniknąć z rachunku.

Możemy przyjąć dla sprawdzenia, że odległość między miastami wynosi 80 km. To dogodny przykład, nie dodatkowy warunek zadania. Pierwszy przejazd potrwa 1 h, a drugi 4 h. W sumie mamy 160 km i 5 h, czyli 32 km/h. Po przyjęciu 160 km otrzymalibyśmy 320 km i 10 h — ten sam iloraz. Dlatego nieznana długość s skraca się we wzorze.

W zapisie ogólnym v_{\mathrm{śr}}=\frac{2s}{s/v_1+s/v_2}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}. Ten ostatni wzór obowiązuje dla dwóch równych dróg. Dla dwóch równych czasów poprawna byłaby średnia arytmetyczna. Najpierw ustalamy, co jest równe; dopiero potem wybieramy skrócony wzór.

Kontrola: 32 km/h leży między 20 i 80 km/h i bliżej niższej szybkości. Gdyby powrót był niemal zatrzymaniem, czas całości wzrósłby bardzo mocno, a średnia szybkość zbliżyłaby się do zera. Średnia arytmetyczna nie oddawałaby tego zachowania.

Sprawdź rozróżnienie: po powrocie do miasta A całkowite przemieszczenie jest zerowe. Średnia prędkość wektorowa w całej podróży wynosi więc zero, mimo że średnia szybkość wynosi 32 km/h. Droga i przemieszczenie odpowiadają na inne pytania.

Najpierw zamień km/h na m/s. Względem pociągu samochód porusza się z różnicą szybkości. Droga samochodu względem ziemi to jego własna szybkość pomnożona przez czas.

1. 36 km/h = 10 m/s, a 72 km/h = 20 m/s. Szybkość względna wynosi 20 − 10 = 10 m/s.
2. t = 200 m / (10 m/s) = 20 s.
3. Droga samochodu względem ziemi: s = 20 m/s · 20 s = 400 m. To więcej niż długość pociągu, ponieważ pociąg także się porusza.

Dwa układy odniesienia, ten sam czas

W układzie związanym z ziemią oba pojazdy jadą w prawo. Początek osi ustawiamy tam, gdzie w chwili t = 0 znajdują się samochód i koniec pociągu. Czoło pociągu jest już 200 m dalej. Po czasie t samochód ma współrzędną 20t, a czoło pociągu 200 + 10t, gdy odległość podajemy w metrach, a czas w sekundach.

Chwila zakończenia wyprzedzania to spotkanie obu położeń: 20t=200+10t. Odejmujemy 10t od obu stron, otrzymując 10t=200, a stąd t = 20 s. Odejmowanie szybkości jest więc skrótem tego samego rozumowania, nie osobną sztuczką.

W układzie związanym z pociągiem pociąg spoczywa. Samochód pokonuje jego długość 200 m z szybkością względną 10 m/s. To daje taki sam czas, lecz inną drogę: 200 m względem pociągu oraz 400 m względem ziemi. Wynik bez nazwania układu odniesienia byłby niejednoznaczny.

Co zmieni długość samochodu? Jeśli ma 5 m, a na początku jego przód jest przy końcu pociągu, aby cały samochód znalazł się przed pociągiem, musi nadrobić 205 m. Czas wyniesie 20,5 s, a jego droga względem ziemi 410 m. W zadaniu tę długość świadomie pomijamy.

Kontrola: przy jednakowych szybkościach różnica byłaby zerowa. Samochód nie nadrobiłby początkowego odstępu i wyprzedzanie nigdy by się nie zakończyło. Jeżeli Twój wzór dawałby wtedy skończony dodatni czas, nie opisuje tego modelu.

12 cm to 120 mm, a minuta to 60 sekund. Podziel drogę przez czas. Przy zamianie mm/s na m/s podziel wartość przez 1000.

1. v = s/t = 120 mm / 60 s = 2 mm/s.
2. Ponieważ 1 mm = 0,001 m, ta sama szybkość wynosi 0,002 m/s. Zmiana jednostki zmienia liczbę, ale nie zmienia ruchu ślimaka.

Jedna szybkość, kilka różnych liczb

Ślimak pokonuje 12 cm, czyli 120 mm, w czasie 60 s. Dzielimy drogę przez czas, ponieważ szukamy odległości przypadającej średnio na jedną sekundę. Obie wielkości można przeliczyć przed dzieleniem albo przeliczyć dopiero wynik — poprawne metody muszą się zgadzać.

Pierwsza droga: v=\frac{120\ \mathrm{mm}}{60\ \mathrm{s}}=2\ \mathrm{mm/s}. Druga: v=\frac{0{,}12\ \mathrm{m}}{60\ \mathrm{s}}=0{,}002\ \mathrm{m/s}. Nie mnożymy 2 przez 1000 przy przejściu na metry. Większa jednostka wymaga mniejszej liczby jednostek do opisania tego samego ruchu.

Możesz też zastosować iloczyn jednostkowych przeliczników: 12\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{min}}\cdot\frac{10\ \mathrm{mm}}{1\ \mathrm{cm}}\cdot\frac{1\ \mathrm{min}}{60\ \mathrm{s}}=2\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}. Centymetry i minuty skracają się. Zapisanie samych liczb 10 i 60 łatwo prowadzi do odwrócenia działania; jednostki podpowiadają prawidłową orientację ułamków.

Sprawdzenie odwrotne: 2 mm/s razy 60 s daje 120 mm, czyli początkowe 12 cm. Wynik 0,2 m/s oznaczałby aż 12 m w minutę — sto razy więcej niż w treści. Błąd w przecinku daje się więc zauważyć bez powtarzania całego rachunku.

Wniosek o ruchu: znamy tylko szybkość średnią. Ślimak mógł na chwilę przystanąć, a potem nadrobić odcinek. Z podanych dwóch liczb nie wynika, że w każdej sekundzie przebywał dokładnie 2 mm. Do tego potrzebowalibyśmy dodatkowych pomiarów albo założenia ruchu jednostajnego.

Czwarta sekunda to przedział od t = 3 s do t = 4 s. Odejmij drogę przebytą do końca trzeciej sekundy od drogi przebytej do końca czwartej.

1. Dla v₀ = 0 droga wynosi s(t) = at²/2.
2. 28 m = s(4 s) − s(3 s) = a · (16 − 9) s² / 2 = 3,5a s².
3. a = 28 / 3,5 = 8 m/s². Bez znajomości prędkości początkowej nie dałoby się wyznaczyć jednej wartości przyspieszenia.

W czwartej sekundzie to nie przez cztery sekundy

Na osi czasu zaznacz chwile 0, 1, 2, 3 i 4 s. Pierwsza sekunda trwa od 0 do 1 s; czwarta — od 3 do 4 s. Szukana droga 28 m dotyczy tylko ostatniego z tych przedziałów. Podstawienie jej jako s(4) pomyliłoby fragment ruchu z całością.

Przy starcie z miejsca i stałym dodatnim przyspieszeniu prędkość rośnie liniowo: v = at. Droga do chwili t jest polem trójkąta pod wykresem prędkości: s(t)=\frac{t\cdot at}{2}=\frac12at^2. W czwartej sekundzie interesuje nas różnica dwóch takich pól, czyli pas pomiędzy t = 3 s i t = 4 s.

Odejmując \frac12a(4\ \mathrm{s})^2-\frac12a(3\ \mathrm{s})^2, dostajemy \frac12a(16-9)\ \mathrm{s^2}=3{,}5a\ \mathrm{s^2}. Po podzieleniu 28 m przez 3,5 s² otrzymujemy 8 m/s². Jednostki czasu są podniesione do kwadratu razem z liczbami — samo odejmowanie 4 − 3 byłoby innym rachunkiem.

Sprawdzenie inną metodą: dla znalezionego przyspieszenia prędkości na końcach przedziału wynoszą 24 i 32 m/s. Średnia w tym jednosekundowym przedziale to (24 + 32)/2 = 28 m/s. Pomnożenie przez 1 s odtwarza 28 m. Średnia arytmetyczna działa tu dlatego, że prędkość zmienia się liniowo w czasie.

Dlaczego musimy znać prędkość początkową? Gdy v₀ nie jest zerowe, do drogi w czwartej sekundzie dochodzi składnik v₀ · 1 s. Ten sam wynik 28 m może wtedy pochodzić z różnych par v₀ i a. Samo zdanie o ruchu jednostajnie przyspieszonym nie oznacza startu z miejsca.

Porównaj położenie, prędkość i drogę w modelu ruchu »

Menzurka pokazuje wodę razem z zanurzoną bryłą. Odejmij pierwszy odczyt od drugiego. Potem podziel masę przez objętość bryły, a nie przez końcowy odczyt.

1. Objętość wypartej wody jest objętością całkowicie zanurzonej bryły: V = 600 cm³ − 400 cm³ = 200 cm³.
2. Średnia gęstość: ρ = m/V = 540 g / 200 cm³ = 2,7 g/cm³.
3. W SI masa wynosi 0,540 kg, a objętość 200 · 10⁻⁶ m³ = 0,000200 m³. Stąd ρ = 0,540/0,000200 = 2700 kg/m³.
4. Kontrola: 2,7 g/cm³ · 200 cm³ = 540 g. Użycie 600 cm³ dałoby 0,9 g/cm³, ale ta objętość obejmuje również wodę obecną przed zanurzeniem.

Co mierzy różnica odczytów?

Woda już zajmowała 400 cm³. Bryła podnosi jej poziom, bo zajmuje dodatkowe miejsce pod powierzchnią. Dlatego objętość bryły to przyrost wskazania, nie całe 600 cm³. Gdybyśmy wyjęli bryłę bez utraty wody, wskazanie wróciłoby do 400 cm³.

W przeliczeniu gęstości zmieniamy licznik i mianownik: 1\,\mathrm{g/cm^3}=\frac{10^{-3}\,\mathrm{kg}}{10^{-6}\,\mathrm{m^3}}=10^3\,\mathrm{kg/m^3}. Stąd 2,7 g/cm³ oznacza 2700 kg/m³. Sama zamiana gramów na kilogramy nie wystarcza.

Spróbuj zmienić dane: załóż teraz, że obie bryły są wykonane z tego samego jednorodnego materiału. Druga ma objętość 100 cm³. Jej masa powinna wynieść 270 g, a gęstość nadal 2,7 g/cm³. Gęstość porównuje masę z objętością; nie jest inną nazwą masy.

Pomiar daje średnią gęstość całej bryły. Nie wystarcza do pewnego rozpoznania materiału. Przy pęcherzykach powietrza odczytana objętość byłaby za duża, a obliczona gęstość za mała.

Użyj p = F/S. Centymetr kwadratowy to 0,0001 m². Przy tej samej sile mniejsze pole oznacza większe ciśnienie.

1. Przeliczamy pola: 30 cm² = 0,0030 m², a 10 cm² = 0,0010 m². Przelicznik długości podnosimy do kwadratu.
2. Dla większego pola p₁ = 60 N / 0,0030 m² = 20 000 Pa = 20 kPa.
3. Dla mniejszego pola p₂ = 60 N / 0,0010 m² = 60 000 Pa = 60 kPa.
4. Pole zmalało trzykrotnie, więc ciśnienie wzrosło trzykrotnie. Siła nie wzrosła: 20 000 Pa · 0,0030 m² = 60 000 Pa · 0,0010 m² = 60 N.

Siła pozostaje taka sama

Ciśnienie mówi, jaka siła przypada średnio na jednostkę pola powierzchni. Obrócenie klocka nie zwiększa jego ciężaru. Zmienia miejsce rozłożenia tej samej siły 60 N.

Sprawdzenie samych proporcji daje \frac{p_2}{p_1}=\frac{F/S_2}{F/S_1}=\frac{S_1}{S_2}=\frac{30}{10}=3. To wynik niezależny od wyboru jednostek. Do otrzymania paskali trzeba jednak zamienić cm² na m²: jeden metr kwadratowy zawiera 10 000 centymetrów kwadratowych.

Inny przypadek: jeśli podwoimy zarówno siłę, jak i pole, iloraz F/S się nie zmieni. Jeśli powierzchnia styku jest nierówna, średnie p nadal wynosi F/S, ale nie opisuje dokładnie ciśnienia w każdym punkcie.

Najpierw I = U/R. Następnie P = UI. Napięcie oznaczamy literą U; symbol V przy wartości napięcia oznacza wolt.

1. Z prawa Ohma U = IR otrzymujemy I = U/R = 12 V / 24 Ω = 0,50 A = 500 mA.
2. Moc wynosi P = UI = 12 V · 0,50 A = 6,0 W. Jeden wat oznacza jeden dżul energii w ciągu sekundy.
3. Sprawdzenie inną postacią tego samego prawa: P = I²R = (0,50 A)² · 24 Ω = 6,0 W.
4. Gdyby napięcie zmniejszyć do 6 V przy niezmienionym oporze, prąd wyniósłby 0,25 A, a moc 1,5 W. Dwukrotnie mniejsze napięcie daje czterokrotnie mniejszą moc.

Ampery i waty odpowiadają na różne pytania

Natężenie 0,50 A oznacza przepływ 0,50 C ładunku w ciągu sekundy. Napięcie 12 V oznacza zmianę energii o 12 J na każdy kulomb. Ich iloczyn daje 6 J w sekundę, czyli 6 W. Moc nie jest ilością ładunku ani porcją energii.

Po podstawieniu I = U/R do P = UI dostajemy P=U\frac{U}{R}=\frac{U^2}{R}. Dlatego przy stałym R moc zależy od kwadratu napięcia. Podwojenie napięcia dałoby cztery razy większą moc, a nie dwa razy większą.

Kontrola czasu: w 10 s przy mocy 6 W opornik zamieni 60 J energii elektrycznej w energię wewnętrzną. Nie wynika z tego wzrost temperatury o 60 stopni: trzeba jeszcze znać pojemność cieplną i wymianę ciepła z otoczeniem.

Przez oba oporniki płynie ten sam prąd. Najpierw dodaj opory, potem wyznacz I, a na końcu użyj U₁ = IR₁ i U₂ = IR₂.

1. Opór zastępczy wynosi R = R₁ + R₂ = 20 Ω + 40 Ω = 60 Ω.
2. Wspólne natężenie: I = U/R = 12 V / 60 Ω = 0,20 A = 200 mA.
3. Na pierwszym oporniku U₁ = 0,20 A · 20 Ω = 4,0 V, a na drugim U₂ = 0,20 A · 40 Ω = 8,0 V.
4. Kontrola napięć: 4,0 V + 8,0 V = 12 V. Większy opór ma większy spadek napięcia, lecz nie mniejsze natężenie: w jednym obwodzie szeregowym prąd nie dzieli się między oporniki.

Prąd się nie zużywa

W obwodzie bez rozgałęzień przez oba oporniki przepływa w tym samym czasie taka sama ilość ładunku. Natężenie wynosi więc 0,20 A zarówno przed pierwszym opornikiem, między nimi, jak i za drugim. Na elementach zmienia się energia ładunków, a nie liczba kulombów przepływających w sekundę.

Podział napięcia można sprawdzić bez ponownego obliczania I: \frac{U_2}{U_1}=\frac{IR_2}{IR_1}=\frac{R_2}{R_1}=2. Większy opornik otrzymuje dwa razy większy spadek, a oba spadki razem dają napięcie źródła.

Kontrola mocy: źródło oddaje 12 · 0,20 = 2,4 W. Oporniki zamieniają odpowiednio 0,20² · 20 = 0,8 W i 0,20² · 40 = 1,6 W. Suma wynosi 2,4 W. Gdy zamienimy oporniki miejscami, natężenie i moc każdego z nich pozostaną takie same.

Dla stałej mocy E = Pt. Iloczyn watów i godzin daje watogodziny. Czas drugiej lampy oblicz jako tę samą energię podzieloną przez 15 W.

1. Pierwsza lampa pobiera E = 60 W · 2 h = 120 Wh = 0,120 kWh.
2. Ponieważ 1 Wh = 3600 J, ta sama energia wynosi 120 · 3600 J = 432 000 J = 432 kJ.
3. Czas drugiej lampy: t₂ = E/P₂ = 120 Wh / 15 W = 8 h, czyli 28 800 s.
4. Sprawdzenie: 15 W · 8 h = 120 Wh. Czterokrotnie mniejsza moc wymaga czterokrotnie dłuższego czasu przy tej samej energii. Nie wynika z tego, że lampy oświetlą pokój jednakowo.

Wat nie jest watogodziną

Moc określa tempo pobierania energii. Energia zależy również od czasu pracy. Lampa o małej mocy może zużyć więcej energii, jeśli działa odpowiednio długo. Watogodzina jest jednostką energii: nie dzielimy watów przez godziny.

Przelicznik wynika z definicji: 1\,\mathrm{Wh}=1\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}}\cdot3600\,\mathrm{s}=3600\,\mathrm{J}. Kilowatogodzina to 3 600 000 J. Liczba 0,120 kWh opisuje tę samą energię co 120 Wh, nie moc 0,120 kW.

Sprawdź krótszą pracę: druga lampa w ciągu 2 h pobierze 30 Wh, czyli cztery razy mniej energii niż pierwsza w tym samym czasie. Aby porównanie miało sens, zawsze powiedz, czy utrzymujesz ten sam czas, tę samą energię, czy takie samo oświetlenie. W tym zadaniu nie mamy danych o oświetleniu.

Energia użyteczna to Eᵤ = mgh. Zapisz 60% jako 0,60. Podziel energię użyteczną przez sprawność, żeby otrzymać większą od niej energię pobraną. Na końcu oblicz różnicę.

1. Przyrost energii potencjalnej wynosi Eᵤ = mgh = 20 kg · 10 N/kg · 3,0 m = 600 J.
2. Sprawność jest ilorazem energii użytecznej i pobranej. Zatem energia pobrana wynosi 600 J / 0,60 = 1000 J = 1,0 kJ.
3. Pozostała energia to różnica 1000 J − 600 J = 400 J. Nie znika: trafia do innych form, np. energii wewnętrznej urządzenia i otoczenia.
4. Kontrola: 600/1000 = 0,60 = 60%, a 600 J + 400 J = 1000 J. Mnożenie 600 J przez 0,60 dałoby za małą energię pobraną i odwróciłoby definicję sprawności.

Sześćdziesiąt procent czego?

Sprawność 60% oznacza, że z każdych 100 J pobranych przez podnośnik 60 J zwiększa energię potencjalną ładunku. Szukamy całej pobranej energii, której 60% wynosi 600 J. Musi być większa od 600 J.

Oznaczmy energię pobraną jako E_{\mathrm{pobr}}, a użyteczną jako E_{\mathrm{u}}. Wtedy \eta=\frac{E_{\mathrm{u}}}{E_{\mathrm{pobr}}}\quad\Rightarrow\quad E_{\mathrm{pobr}}=\frac{E_{\mathrm{u}}}{\eta}. Liczbę procentów zamieniamy na ułamek przed dzieleniem.

Porównaj dwa urządzenia: przy sprawności 75% to samo podniesienie wymagałoby 600/0,75 = 800 J; do innych form trafiłoby 200 J. Przyrost energii potencjalnej pozostaje 600 J, bo masa i wysokość się nie zmieniły. Lepsza sprawność zmniejsza energię pobraną, nie pracę potrzebną do uzyskania tej samej wysokości.