Zmierzono energię alfy: odtwórz energię przemiany

Rozwiązanie

Zmierzona cząstka nie zamyka bilansu

Znamy jedną energię i stosunek mas. Równość pędów określa brakujący składnik odrzutu; dopiero suma daje całkowitą Q. Nie potrzebujemy osobno wartości pędu.

T_M=4{,}800\frac4{200}\,\mathrm{MeV}=0{,}096\,\mathrm{MeV}

Q=T_m+T_M=4{,}896\,\mathrm{MeV}

Energia zmierzonej cząstki nie jest całym Q. Pominięcie drugiego składnika zaniżyłoby bilans.

Odpowiedź: odrzut 0,096 MeV; energia przemiany 4,896 MeV.

Względny udział odrzutu

Odrzut wynosi 2% energii lekkiej cząstki, ponieważ 4/200 = 0,02. Jego mała wartość uzasadnia czasem przybliżenie, ale w tym zadaniu jest właśnie szukaną poprawką.

Co naprawdę mierzymy?

4,800 MeV jest energią jednego produktu, nie automatycznie energią całej przemiany. Przeciwległe jądro także ma pęd. Przy masie 200 u jego prędkość jest mniejsza, ale dodatnia energia 0,096 MeV zamyka bilans. Nie musimy jej bezpośrednio mierzyć, jeżeli ufamy założeniom dwuciałowego rozpadu i znamy masy.

Równość p²/(2m) = Tₘ i p²/(2M) = Tᴍ daje mTₘ = MTᴍ. Dzielimy przez M, a nie przez m: cięższy produkt ma dostać mniejszą energię. Potem dodajemy, nie odejmujemy, bo obie energie kinetyczne są nieujemne, mimo przeciwnych zwrotów prędkości.

Kontrola odwrotna z odzyskanym Q

Po znalezieniu 4,896 MeV użyjmy wzoru prostego problemu. Ułamek przypadający lekkiej cząstce wynosi 200/204. Mnożąc 4,896 · 200/204, wracamy dokładnie do 4,800 MeV. Dla cięższego produktu 4,896 · 4/204 = 0,096 MeV. Odtworzyliśmy pomiar oraz brakujący składnik niezależnym tokiem przekształceń.

Q=T_m\left(1+\frac mM\right)=1{,}02T_m.

W tym konkretnym układzie poprawka to 2% zmierzonej energii. Nie jest to uniwersalna poprawka do wszystkich energii alfa; zależy od stosunku mas. Przy masie potomka 100 u, z zachowaniem pozostałych modelowych danych, Q wyniosłoby 1,04 · 4,800 = 4,992 MeV.

Niepewność i liczba cyfr

Jeżeli dodatkowo pomiar Tₘ miałby standardową niepewność 0,010 MeV, a stosunek mas traktowalibyśmy jako dokładny, w tym samym modelu u(Q) = 1,02 · 0,010 = 0,0102 MeV. Nie dodajemy dwóch niezależnych niepewności Tₘ i Tᴍ, bo odrzut został obliczony z tego samego pomiaru; te wielkości są skorelowane.

To rozróżnienie jest ważniejsze niż wypisanie wielu cyfr. Odpowiedź zadania 4,896 MeV zachowuje cyfry modelowych danych. W rzeczywistym opracowaniu liczba cyfr wynikałaby z oszacowanej niepewności oraz adekwatności przybliżenia. Jeżeli zabrakłoby informacji o fotonie albo wzbudzeniu, nawet bardzo dokładny pomiar jednej energii nie uzasadniałby tego prostego odtworzenia Q.

Powiązana teoria

Podział energii w rozpadzie dwuciałowym

Dalsza lektura

Materiał referencyjny