Najpierw przewidź
Długość i czas mają niepewności względne 3% i 4%. Dlaczego dla ilorazu dodatnia korelacja zmniejsza wynik, a ujemna go zwiększa?
Dla ℓ=0,100 m i t=0,0200 s szybkość wynosi 5,00 m/s. Niepewności względne 3% i 4% dają u(ℓ)=0,003 m oraz u(t)=0,0008 s. Przy r=0 względna standardowa niepewność wynosi √(0,03²+0,04²)=0,05, czyli 5%, a u(v)=0,25 m/s. Przy r=0,5 otrzymujemy √(0,03²+0,04²−2·0,5·0,03·0,04)≈3,606%, czyli około 0,1803 m/s. To przybliżenie liniowe, nie gwarantowana granica błędu.
Odczyty modelu
Porównaj swoje próby
Zapisz ustawienia i odczyty, zmień jeden parametr i zapisz kolejną próbę. To wyniki modelu. Tabela pozostaje na tej stronie do jej zamknięcia; możesz pobrać ją jako CSV.
Brak zapisanych prób. Możesz porównać do 20 prób.
| Próba | Ustawienia | Odczyty |
|---|
Jak działa ten model?
Model szybkości to v=ℓ/t. Przyjmujemy ruch jednostajny, więc długość przesłony i czas zasłonięcia opisują tę samą fazę przejścia przez fotobramkę. Wartość 3% wstawiamy do równania jako 0,03. Długość ma niepewność w metrach, czas w sekundach, a ich względne niepewności są bezwymiarowe.
Małe zmiany dają δv≈δℓ/t−ℓδt/t². Po podzieleniu przez v otrzymujemy δv/v≈δℓ/ℓ−δt/t. Zwiększenie długości zwiększa wynik, a zwiększenie czasu go zmniejsza. Ten przeciwny znak jest przyczyną ujemnego wyrazu korelacyjnego w wariancji ilorazu.
Oznaczmy a=u(ℓ)/ℓ oraz b=u(t)/t. W pierwszym rzędzie [u(v)/v]²≈a²+b²−2rab. Kowariancja wejść wynosi r·u(ℓ)u(t) i ma jednostkę m·s. Dla niezależnych wejść r=0 i pozostaje suma kwadratów. Sam brak wyraźnej zależności na czterech punktach nie dowodzi niezależności.
Wykres po lewej pokazuje a², b² i podpisany składnik −2rab w procentach do kwadratu. Składnik korelacyjny może być ujemny, ale łączna wariancja pozostaje nieujemna dla r od −1 do 1. Wykres po prawej pokazuje całe przewidywanie dla tych samych a i b przy różnych założeniach o r.
Dla a=3% i b=4% otrzymujemy 5% przy r=0, 1% przy r=1 i 7% przy r=−1. Przy pełnej dodatniej korelacji wspólne względne zmiany częściowo się znoszą. Gdy a=b i r=1, model pierwszego rzędu daje zero. Nie znaczy to, że realny pomiar jest dokładny: wynik dotyczy tylko jawnie uwzględnionych składników i założonej zależności.
Zapisz próby dla r=−1, 0 i 1 przy tych samych pozostałych ustawieniach. Następnie podwój samą długość, zachowując procentowe niepewności i czas. Szybkość oraz bezwzględna niepewność wzrosną dwukrotnie, a względna niepewność pozostanie taka sama. Suwak r bada skutki założenia; w doświadczeniu r trzeba wyznaczyć lub uzasadnić metodą.
Założenia i granice
- Dodatnia długość i czas; ruch jednostajny. Uwzględniamy tylko dwa wskazane źródła niepewności.
- Rachunek pierwszego rzędu jest przybliżeniem dla małych względnych zmian. Kontrolki dopuszczają do 10%; górny zakres służy także do badania modelu i nie jest gwarancją dokładności liniowego przybliżenia.
- Współczynnik r od −1 do 1 opisuje korelację wejściowych wielkości losowych, a nie kierunek ruchu. Dodatnia korelacja nie oznacza większej szybkości.
Sprawdź samodzielnie
Przy ℓ=0,100 m, t=0,0200 s, a=3% i b=4% porównaj r=0 oraz r=0,5. Następnie ustaw a=b=4% i r=1. Wyjaśnij, czego dotyczy zerowa niepewność z ostatniej próby.
Sprawdź rozwiązanie
v=5,00 m/s. Dla r=0 względna niepewność wynosi 5%, a u(v)=0,25 m/s. Przy r=0,5 wariancja względna wynosi 0,0013, więc u(v)/v≈3,6056% i u(v)≈0,18028 m/s. Dla a=b=4% i r=1 wyrazy 0,0016+0,0016−0,0032 znoszą się. Zero dotyczy tylko tych dwóch w pełni skorelowanych składników w przybliżeniu liniowym. Nie opisuje pominiętych źródeł ani automatycznie całego rzeczywistego pomiaru.