Zasady termodynamiki

Liczba wzbudzeń w próbce ma znaną wariancję 18,75 i średnią 25. Zapisano 32 odczyty w ośmiu blokach. W każdym bloku cztery odczyty są identycznymi kopiami jednej obserwacji; między blokami obserwacje są niezależne i mają ten sam rozkład. a) Wyznacz odchylenie standardowe średniej z 32 zapisanych liczb. b) Porównaj je z wynikiem błędnie zakładającym 32 niezależne obserwacje. c) Czy kopie zmniejszają fizyczne fluktuacje próbki? Zaproponuj poprawną zmianę sposobu zbierania danych.

W próbce jest 20 niezależnych ośrodków, każdy wzbudzony z prawdopodobieństwem 0,10. a) Oblicz średnią i wariancję liczby wzbudzeń. b) Oblicz P(n = 0) oraz P(n ≤ 2). c) Oblicz P(n ≥ 5) z dokładnego rozkładu dwumianowego. d) Czy średnia równa 2 uzasadnia zastąpienie wszystkich obserwacji stałą liczbą dwóch wzbudzeń? Nie stosuj przybliżenia rozkładem normalnym.

Niezależne ośrodki są wzbudzone z prawdopodobieństwem 1/4. Porównaj próbki zawierające N = 100 i N = 10 000 ośrodków. a) Oblicz średnią liczbę wzbudzeń, odchylenie standardowe tej liczby i względne odchylenie σ_n/⟨n⟩. b) Podaj średnią energię oraz odchylenie energii w jednostkach Δ. c) Oceń zdanie: „w większej próbce fluktuacje są sto razy mniejsze”.

Wkład N niezależnych ośrodków dwupoziomowych ma maksimum pojemności cieplnej przy 50 K. Oba poziomy są niezdegenerowane, a Δ nie zależy od T. a) Korzystając z warunku x tanh(x/2) = 2, ustal dodatni pierwiastek z dokładnością co najmniej 0,001. b) Wyznacz Δ/k_B i Δ w dżulach. c) Podaj C_max/(Nk_B). d) Jak zmienią się położenie i wysokość maksimum po podwojeniu Δ przy tym samym N? Przyjmij k_B = 1,380649 · 10⁻²³ J/K.

Dwa niezależne ośrodki A i B mają poziomy 0 i Δ. Temperatura spełnia exp[−Δ/(k_BT)] = 1/2. a) Wypisz wszystkie mikrostany, ich energie i prawdopodobieństwa. b) Oblicz bezpośrednio ⟨E⟩, ⟨E²⟩ i wariancję energii. c) Sprawdź C = Var(E)/(k_BT²) i porównaj z pojemnością cieplną dwóch niezależnych ośrodków. Dlaczego lista samych trzech różnych energii nie wystarcza?

Mol niezależnych ośrodków ma dwa niezdegenerowane poziomy 0 i Δ, przy czym Δ/k_B = 120 K. Temperatura wynosi T = 120 K/ln 3. a) Oblicz prawdopodobieństwo wzbudzenia i średnią energię całego mola. b) Oblicz molową pojemność cieplną przy stałym Δ. c) Do jakiej wartości dąży średnia energia mola przy T → ∞? Przyjmij R = N_Ak_B = 8,31446 J/(mol·K).

Jeden ośrodek ma dwa niezdegenerowane poziomy 0 i Δ. Temperatura spełnia exp[−Δ/(k_BT)] = 1/3. a) Oblicz prawdopodobieństwa i średnią energię. b) Do obu poziomów dodano tę samą stałą 5Δ, niezależną od temperatury. Oblicz nową sumę wag, prawdopodobieństwa i średnią energię. c) Czy ta zmiana zera energii zmienia pojemność cieplną?

Dwa poziomy o degeneracjach g₀ = 1 i g₁ = 2 dzieli energia Δ, przy czym Δ/k_B = 240 K. Rzeczywisty stosunek liczby ośrodków na górnym i dolnym poziomie wynosi 0,40. Zakładamy równowagę. a) Wyznacz T. b) Jaką temperaturę otrzyma ktoś, kto pominie degenerację? c) Czy stosunek równy 2,2 da się opisać tym samym modelem przy dodatniej temperaturze?

Ośrodek ma poziomy 0, Δ i 2Δ o degeneracjach odpowiednio 1, 2 i 1. Jest w równowadze w temperaturze T = Δ/(k_B ln 2). a) Oblicz prawdopodobieństwa trzech poziomów i każdego z dwóch stanów o energii Δ. b) Wyznacz średnią energię. c) Ilu ośrodków na każdym poziomie oczekujesz średnio w zbiorze 900 niezależnych identycznych ośrodków? Czy pojedynczy pomiar całego zbioru musi dać dokładnie te liczby?

Układy A i B zawierają po cztery rozróżnialne ośrodki o poziomach energii 0 i Δ. Każdy może być wzbudzony najwyżej raz. Całość jest izolowana i ma energię dokładnie 4Δ; wszystkie konfiguracje o tej energii są równie prawdopodobne. Układy mogą wymieniać energię. a) Znajdź rozkład liczby wzbudzeń n_A. b) Oblicz prawdopodobieństwo równego podziału energii. c) Znajdź średnią energię A i wyjaśnij, czy energia A musi być jej równa w każdej obserwacji.