Nierówne objętości: czy największa liczba konfiguracji wystarczy?

Rozwiązanie

Objętości wyznaczają wagę jednego zapisu

Jednorodność oznacza p = 1/3 dla strony lewej i 1 − p = 2/3 dla prawej. Niezależność pozwala mnożyć te prawdopodobieństwa. Dla jednej cząstki po lewej zapis LPPP ma wagę (1/3)(2/3)³ = 8/81. Literę L można umieścić na czterech pozycjach, zatem P(1) = 32/81 ≈ 39,51%.

Przy n = 2 istnieje sześć zapisów. Każdy waży (1/3)²(2/3)² = 4/81. Stąd P(2) = 24/81 = 8/27 ≈ 29,63%. Mimo większej liczby konfiguracji ten makrostan jest mniej prawdopodobny niż n = 1, ponieważ każda z jego konfiguracji ma mniejszą wagę.

Kontrola całego rozkładu

P(n)=\binom{4}{n}\left(\frac13\right)^n\left(\frac23\right)^{4-n}.

Dla n = 0, 1, 2, 3, 4 liczniki nad wspólnym mianownikiem 81 wynoszą odpowiednio 16, 32, 24, 8 i 1. Suma wynosi 81, więc prawdopodobieństwa sumują się do jedności. Najbardziej prawdopodobne jest n = 1. Średnia wynosi 4/3, co nie musi być dopuszczalnym wynikiem pojedynczej obserwacji.

Dzielenie przez 16 zakładałoby równą wagę wszystkich 2⁴ zapisów. Tutaj PPPP waży 16/81, a LLLL tylko 1/81. Objętości zmieniły prawdopodobieństwa, choć nie zmieniły liczby formalnych zapisów stron.

Powiązana teoria

Mikrostany i makrostany: skąd bierze się przewaga równomiernego podziału?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny