Dwa małe układy dzielą cztery kwanty energii
Układy A i B zawierają po cztery rozróżnialne ośrodki o poziomach energii 0 i Δ. Każdy może być wzbudzony najwyżej raz. Całość jest izolowana i ma energię dokładnie 4Δ; wszystkie konfiguracje o tej energii są równie prawdopodobne. Układy mogą wymieniać energię. a) Znajdź rozkład liczby wzbudzeń nA. b) Oblicz prawdopodobieństwo równego podziału energii. c) Znajdź średnią energię A i wyjaśnij, czy energia A musi być jej równa w każdej obserwacji.
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W tym zadaniu
Wskazówka
Jeżeli w A jest n wzbudzeń, to w B jest dokładnie 4 − n. Wybierz wzbudzone ośrodki osobno w obu układach, a liczby wyborów pomnóż.
Rozwiązanie
Stała jest energia całości
Wzbudzenia nie są dodatkowymi cząstkami. Liczymy, które z ośrodków zajmują górny poziom. Dla n wzbudzeń w A otrzymujemy ΩA = C(4,n), a dla pozostałych 4 − n w B: ΩB = C(4,4 − n). Każdą konfigurację A można zestawić z każdą dopuszczalną konfiguracją B.
\Omega(n)=\binom4n\binom4{4-n}.
Dla n = 0, 1, 2, 3, 4 otrzymujemy 1, 16, 36, 16, 1. Suma to 70. Niezależna kontrola: spośród wszystkich ośmiu ośrodków wybieramy cztery wzbudzone, więc C(8,4) = 70.
Prawdopodobieństwo i średnia
Rozkład P(nA) tworzą powyższe liczby podzielone przez 70. Równy podział oznacza nA = 2, zatem P = 36/70 = 18/35 ≈ 51,43%. Symetria A i B daje średnią liczbę wzbudzeń 2. Możemy ją też obliczyć wprost: (0 · 1 + 1 · 16 + 2 · 36 + 3 · 16 + 4 · 1)/70 = 2.
Średnia energia A wynosi więc 2Δ. Pojedyncza obserwacja może jednak dać 0, Δ, 2Δ, 3Δ lub 4Δ. Wahania energii A są dokładnie równoważone przez B. Nie należy stosować tutaj dwóch niezależnych rozkładów dwumianowych z p = 1/2: narzucona suma nA + nB = 4 wiąże oba układy.
Powiązana teoria
Mikrostany i makrostany: skąd bierze się przewaga równomiernego podziału?
Dalsza lektura
Najpierw spróbuj samodzielnie. Zapisz dane, wybierz prawa fizyczne i sprawdź jednostki. Przejdź do zadań ze sprawdzaniem odpowiedzi »
← Wróć do działu: Zadania Do góry ↑
Komentarze (0)
Nie ma jeszcze opublikowanych komentarzy. Rozpocznij rozmowę o tym materiale.
RSS komentarzy · Powiadomienia e-mail
Dodaj komentarz
Możesz komentować jako gość lub zalogować się, aby użyć danych konta. Utwórz konto