Osiem cząstek: równy podział i zebranie po jednej stronie

Rozwiązanie

Liczymy konfiguracje, zanim porównamy prawdopodobieństwa

Każdy zapis ośmiu stron ma wagę 1/256, ponieważ 2⁸ = 256. Przy n = 4 wybieramy cztery numery spośród ośmiu: Ω(4) = 8!/(4!4!) = 70. Dlatego P(4) = 70/256 = 35/128 ≈ 27,34%. Pozostałe 72,66% obejmuje wszystkie nierówne podziały łącznie; równy podział nie musi występować w większości prób.

Jedna wskazana strona i dowolna strona to różne pytania

Dla n = 8 istnieje tylko zapis LLLLLLLL, a dla n = 0 tylko PPPPPPPP. Zdarzenia wykluczają się, więc ich prawdopodobieństwa dodajemy. Dostajemy 2/256 = 1/128 = 0,78125%. Natomiast samemu n = 8 odpowiada 1/256.

Iloraz z punktu c to (70/256)/(1/256) = 70. Gdyby porównać z dowolną jedną stroną z punktu b, iloraz wyniósłby 35. Podwójna odpowiedź wynikałaby ze zmiany zdarzenia, a nie z innej fizyki.

Różnica entropii modelowych makrostanów

S(4)-S(8)=k_B\ln\frac{70}{1}\approx4{,}2485\,k_B\approx5{,}8657\cdot10^{-23}\,\mathrm{J/K}.

Wynik jest dodatni, bo podział 4 : 4 obejmuje więcej konfiguracji. Nie interpretujemy go jako całkowitej entropii ośmiu rzeczywistych cząstek: pominęliśmy ich położenia wewnątrz połówek i pędy. Porównaliśmy dokładnie te ograniczenia, które wskazano w zadaniu.

Powiązana teoria

Mikrostany i makrostany: skąd bierze się przewaga równomiernego podziału?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny