Termometr z obsad: poprawka na degenerację poziomu

Rozwiązanie

Obliczamy wagę pojedynczego górnego stanu

Stosunek obsad poziomów zawiera dwa górne stany. Równanie ma więc postać 0,40 = 2 exp(−240 K/T), czyli exp(−240 K/T) = 0,20. Logarytm naturalny daje −240 K/T = ln 0,20 = −ln 5.

T=\frac{240\,\mathrm K}{\ln5}\approx149{,}12\,\mathrm K.

Sprawdzenie: przy tej temperaturze pojedynczy wyższy stan ma 1/5 wagi dolnego, więc oba razem mają 2/5 = 0,40. Logarytmujemy liczbę bezwymiarową, a jednostka kelwina pozostaje z Δ/k_B.

Skutek pominięcia dwóch stanów

Błędne równanie 0,40 = exp(−240 K/T) prowadzi do T = 240 K/ln 2,5 ≈ 261,93 K. To zawyżenie o około 112,8 K. Większą obsadę, częściowo pochodzącą z większej liczby stanów, przypisano w całości ogrzaniu.

Sprawdzamy granicę wysokiej temperatury

Dla każdej dodatniej skończonej T czynnik exp(−240 K/T) jest mniejszy od 1, zatem stosunek poziomów musi być mniejszy od 2. Wynik 2,2 nie pasuje do tego modelu przy T > 0. Nie wystarczy nazwać go „bardzo wysoką temperaturą”. W rzeczywistym doświadczeniu trzeba zweryfikować równowagę, degeneracje i sposób wyznaczenia obsad; sam ten rachunek nie ustala przyczyny niezgodności.

Powiązana teoria

Rozkład Boltzmanna: prawdopodobieństwo stanu a obsada poziomu energii

Dalsza lektura

Materiał referencyjny