Średnio dwa wzbudzenia: dokładne prawdopodobieństwa rzadkich wyników

Rozwiązanie

Średnia i rozrzut

Średnia wynosi 20 · 0,10 = 2, a wariancja 20 · 0,10 · 0,90 = 1,8. Odchylenie standardowe to √1,8 ≈ 1,34164. Rozrzut jest duży w porównaniu ze średnią, więc nie należy opisywać próbki jedną stałą liczbą wzbudzeń.

Zero, jeden i dwa

Brak wzbudzeń wymaga dwudziestu jednoczesnych wyników „niewzbudzony”, stąd P(0) = 0,9²⁰ ≈ 0,12157665. Dla jednego wzbudzenia wybieramy jego miejsce na 20 sposobów: P(1) = 20 · 0,1 · 0,9¹⁹ ≈ 0,27017034. Dla dwóch istnieje C(20,2) = 190 par, więc P(2) ≈ 0,28517981.

Po dodaniu otrzymujemy P(n ≤ 2) ≈ 0,67692680, czyli około 67,69%. Prawdopodobieństwo dokładnie średniej n = 2 wynosi tylko około 28,52%.

Co najmniej pięć wzbudzeń

P(n\geq5)=1-\sum_{n=0}^{4}\binom{20}{n}(0{,}1)^n(0{,}9)^{20-n}\approx0{,}04317450.

To około 4,31745%. Suma dopełniająca obejmuje również n = 3 i n = 4, nie tylko trzy policzone wcześniej wartości. Obliczenie wszystkich 21 prawdopodobieństw daje sumę 1, co stanowi kontrolę normalizacji.

Stała wartość n = 2 dawałaby zerową wariancję, niemożliwość n = 0 i niemożliwość n ≥ 5. Wszystkie trzy wnioski byłyby sprzeczne z modelem. Średnia jest użyteczna dla przeciętnej energii 2Δ, lecz nie zastępuje rozkładu.

Powiązana teoria

Fluktuacje w równowadze: liczba cząstek, energia i niezależne obserwacje

Dalsza lektura

Materiał referencyjny