Entropia — zadanie: ciepło przechodzi między zbiornikami

Rozwiązanie

Oddziel znaki od temperatur

Gorący zbiornik oddaje energię, więc jego ciepło ma znak ujemny. Zimny przyjmuje dokładnie tę samą ilość energii ze znakiem dodatnim. Temperatury są bezwzględne i stałe, co pozwala określić zmianę entropii każdego zbiornika jako jego Q/T.

Nie jest to stwierdzenie, że cały proces wymiany jest odwracalny. Przepływ przy skończonej różnicy temperatur produkuje entropię. Stała temperatura zbiornika umożliwia obliczenie zmiany jego funkcji stanu; oba ilorazy dodajemy dopiero po uwzględnieniu różnych mianowników.

Bilans dwóch zbiorników

Gorący zbiornik oddaje energię, więc jego zmiana entropii wynosi ΔS_h = −1200/400 = −3 J/K. Zimny zbiornik otrzymuje tę samą energię, lecz w niższej temperaturze: ΔS_c = 1200/300 = +4 J/K.

Łącznie ΔS = −3 + 4 = +1 J/K.

Odpowiedź: −3 J/K, +4 J/K i łączny wzrost o 1 J/K.

Energia jest zachowana, ale entropia całego układu wzrosła. Dla zbiorników stosujemy ich stałe temperatury do określenia zmian funkcji stanu; sam przepływ przez skończoną różnicę temperatur jest nieodwracalny. Podzielenie zera, otrzymanego z sumy obu ilości ciepła, przez jedną arbitralną temperaturę zgubiłoby ten efekt.

Mniejsza różnica temperatur

Dla zimnego zbiornika 350 K otrzymujemy ΔSc = 1200/350 ≈ 3,4286 J/K. Gorący nadal daje −3 J/K, więc suma wynosi około +0,4286 J/K. Jest dodatnia, ale mniejsza niż +1 J/K przy 300 K.

Ogólnie ΔScałość = Q(1/Tc − 1/Th). Dla Th > Tc i dodatniego przekazanego Q znak jest dodatni. Gdy temperatury zbliżają się do siebie, produkcja entropii na jednostkę przekazanej energii maleje. Równe temperatury nie napędzają samorzutnego przepływu; wynik zerowy opisuje odwracalną granicę bilansu, a nie obietnicę przepływu bez żadnej różnicy.

Co przedstawia rodzina punktów na wykresie?

Każdy punkt dotyczy osobnego przypadku: wybieramy inny zimny rezerwuar, a gorący ma nadal 400 K i przekazuje 1200 J. W pojedynczym przypadku obie temperatury są stałe. Krzywa nie pokazuje więc ogrzewania jednego, skończonego ciała z 300 do 400 K.

Produkcja entropii na jednostkę przekazanej energii wynosi 1/T_c−1/T_h i ma jednostkę K⁻¹. Przy 300 K jest to 1/1200 K⁻¹, a przy 350 K — 1/2800 K⁻¹. Pomnożenie przez 1200 J odtwarza 1 oraz 0,4286 J/K. Gdy T_c zbliża się do 400 K, iloraz dąży do zera. Punkt końcowy oznacza granicę bilansu; przy dokładnie równych temperaturach nie ma samorzutnego przepływu zadanej energii.

Powiązana teoria

Entropia jako funkcja stanu. Proces odwracalny i nieodwracalny

Dalsza lektura

Materiał referencyjny