Próg reakcji: energia w układzie środka pędu, tarcza i zderzacz

Potrzebne wiadomości: Czteropęd, masa niezmiennicza układu, energia całkowita a kinetyczna, iloczyn skalarny wektorów. Zagadnienia dotyczą kinematyki reakcji, nie ich prawdopodobieństwa.

Co oznacza próg?

Próg kinematyczny to najmniejsza energia początkowa zgodna z zachowaniem energii i pędu oraz zadanym zestawem cząstek końcowych. Nie mówi, czy reakcja zachodzi łatwo, ani czy inne prawa zachowania na nią pozwalają. Dokładnie na progu dostępny zakres ruchu względnego produktów może zanikać; w praktyce potrzebna jest energia powyżej tej granicy.

Dla swobodnych masywnych produktów o masach mᵢ najmniejsza suma energii w układzie środka pędu to Σmᵢc². Na progu ich ruch względny znika. W laboratorium cała grupa może mimo to się poruszać, bo początkowy pęd nie musi być zerowy. Pomijamy energię wiązania produktów i oddziaływania z otoczeniem; jeśli stan końcowy jest związany, trzeba użyć jego rzeczywistej masy.

Nieruchoma tarcza: wyprowadzenie z niezmiennika

Cząstka a trafia w spoczywającą cząstkę b. Oznaczmy ich energie spoczynkowe przez e_a = m_ac² i e_b = m_bc², a całkowitą energię pocisku przez E_a. W laboratorium energia całego układu wynosi E_a + e_b, a pęd pochodzi wyłącznie od pocisku. Stąd:

E_{\mathrm{SP}}^2=(E_a+e_b)^2-p_a^2c^2=e_a^2+e_b^2+2e_bE_a.

W ostatnim kroku użyliśmy E_a² − p_a²c² = e_a². Jeśli suma energii spoczynkowych produktów wynosi e_f, warunek E_SP ≥ e_f daje:

E_{a,\mathrm{prog}}=\frac{e_f^2-e_a^2-e_b^2}{2e_b},\qquad E_{k,\mathrm{prog}}=E_{a,\mathrm{prog}}-e_a.

Ten wzór wyznacza dodatni próg energetyczny dla rozważanej reakcji wymagającej dopływu energii. Ujemny wynik dla innego procesu nie oznacza fizycznej ujemnej energii kinetycznej. Trzeba wtedy wrócić do dostępnych stanów początkowych i pozostałych praw zachowania.

Dwie jednakowe cząstki i nowy produkt

Rozważmy reakcję a + a → a + a + X. Niech e = mc², a ε = m_Xc². Suma końcowa wynosi 2e + ε. Dla spoczywającej tarczy:

E_{k,\mathrm{prog}}=\frac{(2e+\varepsilon)^2-2e^2}{2e}-e=2\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{2e}.

W modelowym przykładzie e = 100 MeV i ε = 20 MeV potrzeba 40 + 400/200 = 42 MeV energii kinetycznej wiązki. Całkowita energia początkowa w laboratorium wynosi 100 + 42 + 100 = 242 MeV, podczas gdy energia w układzie środka pędu na progu to 220 MeV. Różnica 22 MeV pozostaje w laboratoryjnym ruchu całej grupy produktów.

Co daje zderzenie dwóch wiązek?

Przy dwóch przeciwnych jednakowych wiązkach o tej samej energii pędy znoszą się już w laboratorium. Na progu każda cząstka ma energię całkowitą e + ε/2, czyli energię kinetyczną ε/2. Łączny dopływ energii kinetycznej wynosi ε. W poprzednim przykładzie wystarczy po 10 MeV na wiązkę, razem 20 MeV.

Porównując urządzenia, trzeba jasno powiedzieć, czy ustalamy energię jednej wiązki, sumę obu energii kinetycznych, czy całkowitą energię wraz z masami spoczynkowymi. W drugim zadaniu utrzymujemy tę samą sumę energii kinetycznych i te same masy początkowe.

Dwa fotony: decyduje także kąt

Niech ich energie wynoszą E₁ i E₂, a kąt między kierunkami propagacji θ. Z kwadratu sumy wektorów pędu:

E_{\mathrm{SP}}^2=(E_1+E_2)^2-\big(E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos\theta\big)=2E_1E_2(1-\cos\theta).

Dla tworzenia pary elektron–pozyton potrzeba E_SP ≥ 2m_ec², zatem:

E_1E_2(1-\cos\theta)\ge2m_e^2c^4.

Przy θ = 180° warunek upraszcza się do E₁E₂ ≥ m_e²c⁴. Przy θ = 0° niezmiennik jest zerowy bez względu na wielkość energii; dokładnie współbieżne fotony nie wytworzą same takiej masywnej pary. Nie chodzi o brak energii w laboratorium, lecz o jednoczesny bilans energii i pędu.

Wszystkie podane progi są rachunkiem dla określonych swobodnych uczestników. Dodatkowa tarcza, jądro, pole zewnętrzne lub inny stan końcowy zmieniają układ, którego czteropęd trzeba zbilansować. Same nierówności nie określają przekroju czynnego ani wydajności doświadczenia.

Zadania do tego tematu

• Próg wytworzenia pionu przy nieruchomym protonie
• Ta sama energia kinetyczna w wiązce i w dwóch wiązkach
• Pod jakim kątem dwa fotony mogą utworzyć parę?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny