Niepewność wyniku obliczeń: sumy, iloczyny i potęgi

Potrzebne wiadomości: Niepewność standardowa, procenty, pierwiastki i proste funkcje.

Niepewności standardowe, nie granice

Dla nieskorelowanych wielkości x i y standardowa niepewność sumy lub różnicy wynosi u_z=\sqrt{u_x^2+u_y^2}. Znak odejmowania nie powoduje odejmowania niepewności. Dla małych niepewności i iloczynu albo ilorazu łączymy kwadratowo niepewności względne: (u_z/|z|)^2=(u_x/x)^2+(u_y/y)^2.

Potęga wymaga dodatkowego czynnika. Gdy z=Cx^a, a C jest dokładną stałą, otrzymujemy w przybliżeniu u_z/|z|=|a|u_x/|x|. To wynik przybliżenia liniowego; dla dużych niepewności lub wielkości bliskich zeru trzeba wrócić do pełnego modelu.

Przykład z prostokątem

Niezależnie zmierzono boki 10,0 cm z u=0,3 cm i 20,0 cm z u=0,8 cm. Pole wynosi 200 cm². Niepewności względne to 3% i 4%, więc względna niepewność pola wynosi 5%, a bezwzględna 10 cm².

Nie można tym samym rachunkiem potraktować pola kwadratu jako iloczynu dwóch niezależnych pomiarów, jeśli oba boki zastępujemy tym samym zmierzonym x. Wtedy S=x^2 i czynnik wynosi 2, a nie pierwiastek z dwóch. Podobnie wspólne przesunięcie zera może skorelować wyniki. Gdy zamiast niepewności standardowych dostajemy wyłącznie twarde granice, analiza najgorszego przypadku wymaga innego rachunku.

Zadania do tego tematu

• Grubość ścianki jako różnica dwóch niezależnych pomiarów
• Niepewność szybkości zmierzonej fotobramką
• Pole kwadratu: dlaczego nie wolno niezależnie liczyć tego samego boku dwa razy?
• Co bardziej ogranicza wyznaczenie energii kinetycznej?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny