Jak duży błąd daje mgh przy wysokości jednej dziesiątej promienia?

Rozwiązanie

Dokładna różnica w polu centralnym

Początkowy promień wynosi R, końcowy R+h=1,1R. Zapisujemy ΔEₚ=GMm(1/R−1/(R+h)). Dopiero potem zastępujemy GM przez g₀R². W ten sposób przyspieszenie powierzchniowe nie zostaje omyłkowo uznane za stałe na całej drodze.

Porównanie bez zbędnych liczb

Dla h=R/10 różnica odwrotności promieni daje 1/(11R). Dokładna energia jest więc m g₀ R/11. Przybliżenie m g₀h daje m g₀R/10. W ilorazie wspólne czynniki masy, przyspieszenia i promienia skracają się.

Procent zawyżenia względem wartości dokładnej liczymy jako (przybliżona−dokładna)/dokładna·100%. Wybór mianownika jest częścią definicji błędu i odpowiada treści pytania.

Wynik

Dokładnie \Delta E_p=GMm(1/R-1/(1{,}1R))=mg_0R/11. Przybliżenie daje mg_0h=mg_0R/10. Stosunek wyniku przybliżonego do dokładnego to 11/10=1{,}1.

Odpowiedź: dokładny przyrost wynosi m g₀ R/11, a wzór m g₀ h zawyża go o 10%. Nie o 9,09%: pytanie odnosi błąd do wartości dokładnej, nie przybliżonej.

Kontrola fizyczna i uogólnienie

Grawitacja słabnie z wysokością, więc użycie jej największej, powierzchniowej wartości przez całą drogę powinno zawyżać pracę. Znak zgadza się z wynikiem. Ogólnie ΔEₚ=m g₀h/(1+h/R), więc względne zawyżenie przez m g₀h, liczone względem wyniku dokładnego, wynosi h/R. Dla h=R/100 byłoby to 1%. Ta zależność pozwala ocenić jakość przybliżenia przed wykonaniem szczegółowego rachunku, w ramach tego samego sferycznego modelu źródła.

Powiązana teoria

Praca grawitacji i potencjał: dlaczego energia bywa ujemna?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny