Grubość ścianki jako różnica dwóch niezależnych pomiarów

Rozwiązanie

Model wyniku jest różnicą długości

Grubość d=x−y wynosi 8,00−6,00=2,00 mm. Dane mają niezależne standardowe niepewności, więc wariancje ich wpływów się dodają. Minus w równaniu d nie powoduje odejmowania dodatnich niepewności.

Łączenie i względna wartość

u(d)=√(0,03²+0,04²)=√0,0025=0,05 mm. Względna wartość to 0,05/2,00=0,025, czyli 2,5%. Obliczamy ją względem małej różnicy, a nie względem 8 mm albo 6 mm. Jednostka wariancji jest mm², po pierwiastku wracamy do mm.

Wynik

Grubość wynosi 2,00 mm. Niepewność to u=\sqrt{0{,}03^2+0{,}04^2}=0{,}05 mm. Zatem wynik ma u=0,05 mm, czyli względną niepewność 2,5%. Odejmowanie zbliżonych długości może dać dużą niepewność względną różnicy, nawet gdy pomiary wejściowe są względnie dokładne.

Kontrola znaczenia danych

Niepewność różnicy jest większa od każdego z dwóch pojedynczych standardowych składników, ale mniejsza od ich sumy 0,07 mm. Gdyby podano twarde granice, ta suma odpowiadałaby granicy najgorszego przypadku. To inny rodzaj informacji niż założone standardowe niepewności.

Wariant: jeśli obie długości miałyby wspólne identyczne przesunięcie zera, mogłoby się ono znieść w różnicy. Nie dotyczy to automatycznie całych podanych 0,03 i 0,04 mm. Potrzebny byłby model skorelowanych składników. W treści niezależność została jawnie przyjęta, więc nie zmieniamy jej dla uzyskania korzystniejszego wyniku.

Gdy miernik wnosi wspólne przesunięcie

Model porównawczy zapiszmy jako x=X+b+ε_x oraz y=Y+b+ε_y. W różnicy d=x−y wspólne b znosi się dokładnie, a zostają ε_x−ε_y. To wyjaśnia, dlaczego pomiar różnicy tym samym stabilnym przyrządem może ograniczyć wpływ zera. Gdy jednak niepewności 0,03 i 0,04 mm obejmują różne składniki, nie wolno uznać ich w całości za wspólne. Dla porównania, gdyby były skorelowane ze współczynnikiem r=0,5, rachunek dałby u(d)=\sqrt{0{,}03^2+0{,}04^2-2\cdot0{,}5\cdot0{,}03\cdot0{,}04}\approx0{,}0361\,\mathrm{mm}. W pierwotnej treści r=0 wynika z założonej niezależności.

Powiązana teoria

Niepewność wyniku obliczeń: sumy, iloczyny i potęgi

Dalsza lektura

Materiał referencyjny