Niepewność szybkości zmierzonej fotobramką

Rozwiązanie

Najpierw szybkość i względne składniki

v=l/t=0,100/0,0200=5,00 m/s. Długość ma względną niepewność 0,003/0,100=0,03, czas 0,0008/0,0200=0,04. Oba ilorazy są bezwymiarowe, więc można je połączyć w jednym równaniu.

Przybliżenie liniowe dla niezależnych danych

u(v)/v≈√(0,03²+0,04²)=0,05. Mnożąc przez 5,00 m/s, otrzymujemy 0,25 m/s. To standardowa niepewność, nie maksymalna możliwa zmiana szybkości. Warunek małych względnych niepewności uzasadnia tu prosty pierwszy rząd przybliżenia.

Wynik

Szybkość to v=0{,}100/0{,}0200=5{,}00 m/s. W przybliżeniu liniowym względna niepewność wynosi \sqrt{0{,}03^2+0{,}04^2}=0{,}05. Otrzymujemy u(v)=0,25 m/s. Rachunek zakłada brak korelacji oraz to, że długość przesłony i czas rzeczywiście opisują tę samą fazę ruchu.

Kontrola modelu pomiaru

Długość przesłony i czas muszą opisywać ten sam etap. Jeśli ciało znacznie przyspiesza podczas zasłonięcia, iloraz nadal opisuje odpowiednią średnią szybkość przejścia, ale nie dowolną szybkość chwilową. Treść nakazuje przyjąć stałą szybkość, więc nie dopisujemy nieznanego przyspieszenia.

Wariant: zmniejszenie niepewności czasu do 0,0004 s zmieni względny składnik z 4% na 2%. Całość wyniosłaby √(3²+2²)%≈3,61%, czyli około 0,180 m/s. Nawet idealny pomiar czasu pozostawiłby 3% od długości. To pokazuje, dlaczego warto sprawdzać wkłady przed wyborem ulepszenia przyrządu.

Czułości mają własne jednostki

Pochodne modelu v=ℓ/t wynoszą \partial v/\partial\ell=1/t=50\,\mathrm{s^{-1}} i \partial v/\partial t=-\ell/t^2=-250\,\mathrm{m/s^2}. Ich standardowe wpływy to 50·0,003=0,15 m/s oraz 250·0,0008=0,20 m/s. Łącząc je, dostajemy √(0,15²+0,20²)=0,25 m/s. Ta droga prowadzi do tego samego wyniku co niepewności względne i pokazuje, dlaczego nie dodajemy wprost metrów do sekund. Znak drugiej pochodnej staje się istotny przy korelacji.

Powiązana teoria

Niepewność wyniku obliczeń: sumy, iloczyny i potęgi

Dalsza lektura

Materiał referencyjny