Przepływ ładunku i pierwsze prawo Kirchhoffa: prąd nie znika w węźle

Potrzebne wiadomości: Ładunek elektryczny, czas i dodawanie wielkości ze znakiem.

Amper oznacza kulomb na sekundę

Średnie natężenie definiujemy jako I_{\mathrm{sr}}=\Delta Q/\Delta t. Jeden amper to jeden kulomb na sekundę. Dla prądu stałego Q=It; gdy I się zmienia, ładunek obliczamy jako pole ze znakiem pod wykresem I(t). Zwrot prądu jest umownie zgodny z ruchem ładunków dodatnich, więc w metalach przeciwny do dryfu elektronów.

Bilans w połączeniu przewodów

W stanie ustalonym w węźle nie gromadzi się ładunek: \sum I_{\mathrm{dop}}=\sum I_{\mathrm{odp}}. To pierwsze prawo Kirchhoffa. Można równie dobrze nadać prądom wpływającym znak plus, wypływającym minus i przyrównać ich sumę do zera.

Jeśli wpływa 0,70 A, a jedną gałęzią wypływa 0,25 A, drugą wypływa 0,45 A. Nie 0,35 A: podział prądu wynika z właściwości gałęzi, a nie z samej ich liczby. Przy założonym zwrocie otrzymany wynik ujemny oznacza zwrot przeciwny do wybranego.

A jeśli ładunek jednak się gromadzi?

Ogólnie bilans brzmi dQ_{\mathrm{wezel}}/dt=\sum I_{\mathrm{dop}}-\sum I_{\mathrm{odp}}. Gdy prawa strona nie jest zerowa, ładunek połączenia zmienia się. W typowym szkolnym zadaniu traktujemy przewody i węzły jako idealne oraz pomijamy taki chwilowy przyrost. Nie wyciągamy jednak z tego wniosku, że ładunek nie może gromadzić się na okładce ładowanego kondensatora.

Warto najpierw narysować strzałki prądów, dopiero potem wstawić liczby. Oszczędza to zgadywania znaków i pozwala sprawdzić wynik przez policzenie ładunków w jednej sekundzie.

Ujemny wynik wskazuje rzeczywisty zwrot przeciwny do przyjętej strzałki. Kliknij rysunek, aby go powiększyć.

Co naprawdę przepływa przez przekrój przewodu?

Natężenie mierzy szybkość przepływu ładunku przez wybrany przekrój. Nie oznacza szybkości pojedynczego elektronu. Prąd 1 A oznacza 1 C w każdej sekundzie przy stałym natężeniu. Duża liczba nośników może dawać zauważalny prąd nawet przy niewielkiej średniej prędkości ich uporządkowanego ruchu.

Wybór strzałki ustala dodatni zwrot. W metalowym przewodzie elektrony dryfują przeciwnie do umownego zwrotu prądu, ponieważ mają ujemny ładunek. Przeniesienie ujemnego ładunku w jedną stronę odpowiada temu samemu znakowi prądu co dodatniego w stronę przeciwną. Nie zmieniamy przez to znaków dowolnie w połowie zadania.

Od porcji ładunku do pola pod wykresem

W małym przedziale Δt, w którym I niewiele się zmienia, przepływa około IΔt. Suma kolejnych porcji daje całkę I(t) po czasie. Jeśli wykres składa się z prostych odcinków, można policzyć pola prostokątów i trójkątów. Jednostka A·s jest równa C. Gdy prąd zmienia zwrot, pole pod osią odejmujemy przy obliczaniu ładunku netto zgodnie z wybraną strzałką.

To rozróżnienie przypomina drogę i przemieszczenie. Dwa przepływy po 1 C w przeciwnych kierunkach dają zerowy bilans ładunku netto, lecz nie oznaczają, że przez przekrój nic się nie poruszało. Jeśli pytanie dotyczy sumy wartości przepływów, trzeba sumować pola bez znaków. W zadaniu należy jasno określić, którą wielkość liczymy.

Przykład: prąd narasta, potem jest stały

Przez pierwsze 4 s prąd rośnie liniowo od zera do 0,60 A. Średnia w tym fragmencie to 0,30 A, a ładunek 1,2 C. Przez kolejne 3 s przepływa dodatkowo 1,8 C. Razem mamy 3,0 C w 7 s, więc średnie natężenie wynosi około 0,429 A. Średnia z wartości 0 i 0,60 A dla całych siedmiu sekund byłaby błędna: wykres nie jest jedną prostą.

Kontrola granic jest prosta: średnia musi mieścić się między najmniejszym i największym natężeniem, więc między 0 i 0,60 A. Ponieważ po fazie wzrostu występuje długi odcinek przy maksimum, średnia całego przebiegu jest większa niż 0,30 A. Taki test nie daje dokładnej liczby, ale szybko wychwytuje niektóre błędy.

Prawo węzłów wynika z zachowania ładunku

Wyobraźmy sobie małą zamkniętą powierzchnię otaczającą połączenie przewodów. Jeżeli w każdej sekundzie wpływa do niej 1,1 C, a wypływa 1,4 C, wewnątrz ubywałoby 0,3 C na sekundę. Nie byłby to stan ustalony. Aby ładunek się nie zmieniał, dodatkowa gałąź musi dostarczać brakujące 0,3 A.

W zadaniu, w którym tę czwartą strzałkę narysowano na zewnątrz, otrzymamy I=−0,30 A. Wyniku ujemnego nie poprawiamy na dodatni bez słów: informuje, że rzeczywisty prąd płynie przeciwnie do przyjętej strzałki. W ciągu 20 s wpłynie tą gałęzią 6 C. Podstawienie z poprawnym zwrotem daje 0,80+0,30+0,30=1,40 A.

Czego samo prawo węzłów nie ustala?

Nie ustala podziału na nieznane gałęzie, jeśli mamy więcej niewiadomych niż niezależnych równań. Potrzebne są wtedy własności elementów, napięcia i pozostałe prawa obwodu. Dwie gałęzie nie muszą dostać po połowie prądu. Równość wynikałaby na przykład z jednakowych oporów przy tym samym napięciu, a nie z liczby strzałek.

Nie mylmy też ładunku z energią. Żarówka pobiera energię elektryczną, ale nie zużywa ładunku w taki sposób, by w stanie ustalonym za nią płynęło mniej prądu niż przed nią w tej samej gałęzi. W kondensatorze podczas ładowania ładunek może natomiast gromadzić się na jednej okładce i ubywać z drugiej; bilans musi obejmować właściwie wybrany obszar.

Sprawdź się

Do węzła wpływa 2 A, a dwiema gałęziami wypływa po 0,5 A. Czy taki opis może stale trwać bez zmiany ładunku węzła? Nie: brakujący bilans to 1 A. Albo istnieje nieuwzględniona gałąź, albo ładunek w rozpatrywanym obszarze zmienia się w tempie 1 C/s. Założenie stanu ustalonego jest konkretną informacją, nie ozdobą treści.

Zadania do tego tematu

• Ładunek przepływający przy prądzie narastającym liniowo
• Ujemny wynik dla prądu w czwartej gałęzi węzła

Dalsza lektura

Materiał referencyjny