Powolne przeniesienie sondy z jednego promienia na drugi

Rozwiązanie

Odległość liczona od środka

Oba punkty leżą na zewnątrz sferycznego źródła, więc używamy Eₚ=−GMm/r. Podane r₁ i r₂ są już odległościami od środka; nie dodajemy do nich promienia ani nie traktujemy ich jak wysokości w mgh.

Najpierw dwie energie, potem ich różnica

Energia początkowa jest bardziej ujemna, ponieważ sonda znajduje się bliżej źródła. Różnicę zapisujemy zawsze jako końcowa minus początkowa. Odjęcie liczby ujemnej zwiększa wynik. Praca grawitacji ma przeciwny znak do zmiany energii potencjalnej.

Słowo „bardzo powoli” oznacza w tym rachunku zaniedbywalną zmianę energii kinetycznej. Wypadkowa praca jest więc zerowa, a praca siły zewnętrznej równoważącej grawitację jest równa przyrostowi energii potencjalnej.

Wynik

Początkowa energia to E_{p1}=-8\cdot10^7\ \mathrm{J}, końcowa E_{p2}=-4\cdot10^7\ \mathrm{J}. Zatem \Delta E_p=+4\cdot10^7\ \mathrm{J}. Grawitacja wykonuje pracę przeciwną: W_g=-4\cdot10^7\ \mathrm{J}. Zewnętrzna siła równoważąca wykonuje W_z=+4\cdot10^7\ \mathrm{J}.

Odpowiedź: +40 MJ zmiany energii, −40 MJ pracy grawitacji i +40 MJ pracy zewnętrznej. Ich suma jest zerowa, zgodnie z niezmienioną energią kinetyczną.

Sprawdzenie znaków

Przemieszczenie jest na zewnątrz, a grawitacja do środka, więc jej praca musi być ujemna. Zewnętrzna siła unosząca jest zgodna z przemieszczeniem i wykonuje pracę dodatnią. Bilans −40 MJ +40 MJ=0 zgadza się ze stałą energią kinetyczną. Przy odwróceniu drogi znaki wszystkich zmian i prac się odwrócą. Przy podwojeniu masy sondy wszystkie energie i prace podwoją się, lecz potencjał pola w danych punktach pozostanie ten sam.

Powiązana teoria

Praca grawitacji i potencjał: dlaczego energia bywa ujemna?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny