Pole kwadratu: dlaczego nie wolno niezależnie liczyć tego samego boku dwa razy?

Rozwiązanie

Ten sam wynik występuje dwukrotnie

Pole kwadratu jest funkcją jednej zmierzonej wielkości: S=x². Nie mamy dwóch niezależnych boków. Mała zmiana x oδx zmienia pole o 2xδx+(δx)²; w przybliżeniu liniowym pomijamy drugi rząd.

Przeniesienie standardowej niepewności

S=5,00²=25,00 cm², a u(S)≈2·5,00·0,05=0,50 cm². Względna niepewność boku 1% przechodzi w około 2% pola. Jednostka cm razy cm daje cm², więc niepewność pola ma właściwy wymiar.

Wynik

Pole wynosi 25,00 cm². Niepewność względna boku to 1%, więc dla kwadratu wynosi około 2%. Stąd u(S)=2x u(x)=2\cdot5{,}00\cdot0{,}05=0{,}50 cm². Wynik z czynnikiem pierwiastka z dwóch odpowiadałby innemu problemowi pomiarowemu i zaniżałby tutaj niepewność.

Dlaczego nie pierwiastek z dwóch?

Wzór dla iloczynu niezależnych pomiarów zakłada, że odchylenia dwóch czynników nie są powiązane. Tutaj oba są tą samą zmienną, więc zwiększają się lub zmniejszają razem. Pełna zależność daje czynnik 2, nie √2.

Kontrola liniowości: przy hipotetycznym zwiększeniu boku o 0,05 cm dokładny przyrost pola wyniósłby 5,05²−5²=0,5025 cm². Przybliżenie 0,50 cm² różni się o mały składnik 0,0025 cm². To sprawdza sens pominięcia drugiego rzędu; nie zamienia standardowej niepewności 0,05 cm w gwarantowaną granicę rzeczywistego błędu.

Inny eksperyment: dwa niezależnie zmierzone boki

Gdybyśmy mierzyli osobno dwa boki prostokąta a=b=5,00 cm, każdy z u=0,05 cm, bez korelacji, otrzymalibyśmy u(S)=\sqrt{(b\,u(a))^2+(a\,u(b))^2}\approx0{,}354\,\mathrm{cm^2}. Liczba różni się od 0,50 cm², bo zmienił się model danych. W oryginalnym zadaniu obie pozycje wzoru zawierają tę samą zmienną: wtedy korelacja jest pełna i dwa wpływy dodają się przed podniesieniem do kwadratu. Rozstrzyga pochodzenie danych, a nie sam wygląd iloczynu.

Powiązana teoria

Niepewność wyniku obliczeń: sumy, iloczyny i potęgi

Dalsza lektura

Materiał referencyjny