Co bardziej ogranicza wyznaczenie energii kinetycznej?

Rozwiązanie

Wykładnik szybkości zwiększa jej wpływ

Energia E=mv²/2 ma względne współczynniki czułości 1 dla masy i 2 dla szybkości. Składnik masy to 5%, szybkości 2·2%=4%. Dokładny czynnik 1/2 nie wnosi niepewności i skraca się w rachunku względnym.

Dodajemy wariancje

u(E)/E≈√(0,05²+0,04²)=√0,0041≈0,0640, czyli 6,4%. Porównujemy udziały 25 i 16 w jednostkach procentowych do kwadratu, więc większy udział ma masa. Proste zestawienie 5% z 2% pomijałoby potęgę szybkości.

Wynik

Składnik od szybkości wynosi 2·2%=4%. Względna niepewność energii to \sqrt{0{,}05^2+0{,}04^2}\approx0{,}0640, czyli 6,4%. Masa daje większy udział w wariancji: 25 umownych jednostek procentowych do kwadratu wobec 16 od szybkości. W tym zestawie danych poprawa pomiaru masy ma więc większy potencjał, choć samo porównanie 5% z 2% nie wystarczało.

Jak wykorzystać ten wynik?

Gdyby całkiem usunąć niepewność masy, pozostałoby 4% od szybkości. Gdyby całkiem usunąć niepewność szybkości, pozostałoby 5% od masy. To granice możliwego ulepszenia jednego pomiaru przy niezmienionym drugim, a nie obietnica rzeczywistego osiągnięcia zera.

Wariant: przy masie 1% i szybkości nadal 2% wynik wynosi √17%≈4,12%. Przy masie 5% i szybkości 1% wynik √29%≈5,39%. Rachunek pomaga ustalić, który element warto poprawić, ale wybór praktyczny zależy też od kosztu i możliwości przyrządu. Niezależność oraz małe niepewności pozostają warunkami użytej reguły.

Procent wariancji to nie procent niepewności

Udział masy w wariancji wyniku wynosi 25/(25+16)\approx61\%, a szybkości około 39%. Nie mówimy, że masa daje 61% z wartości 6,4%: pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków. Jeśli możemy zmniejszyć o połowę jeden z wejściowych składników, dla masy uzyskamy √(2,5²+4²)%≈4,72%, a dla szybkości √(5²+2²)%≈5,39%. Przy porównywalnym koszcie pierwsza zmiana bardziej zmniejszy końcową niepewność. Taki wniosek wymaga podanych danych; nie jest zasadą dla każdej energii kinetycznej.

Powiązana teoria

Niepewność wyniku obliczeń: sumy, iloczyny i potęgi

Dalsza lektura

Materiał referencyjny