Kalibracja czujnika: nachylenie prostej nie wystarczy

Potrzebne wiadomości: Funkcja liniowa, wykres i przekształcanie równań.

Dwa parametry mają różne zadania

Model liniowy zapisujemy jako U=ax+b. Nachylenie a określa czułość czujnika, a b jego wskazanie przy x=0. Jednostka a wynika z osi: dla temperatury może być V/°C, dla siły V/N. Dla dwóch dokładnych punktów odniesienia a=(U_2-U_1)/(x_2-x_1), a potem b=U_1-ax_1.

Przykład

W 0°C czujnik daje 0,50 V, a w 100°C daje 2,50 V. Czułość wynosi 0,020 V/°C i model ma postać U=0,020θ+0,50. Odczyt 1,10 V odpowiada więc 30°C, nie 55°C. Do odzyskania temperatury najpierw odejmujemy przesunięcie, potem dzielimy przez czułość.

Dwa punkty zawsze wyznaczają prostą, lecz nie dowodzą liniowości rzeczywistego czujnika. Potrzebujemy punktów kontrolnych pomiędzy nimi. Różnicę pomiędzy wskazaniem a wartością przewidzianą przez model nazywamy resztą. Uporządkowany łuk reszt może sugerować nieliniowość, a nie przypadkowy rozrzut.

Nie wymuszamy przejścia przez początek układu tylko dlatego, że tak łatwiej liczyć. Nie przedłużamy też bez sprawdzenia modelu daleko poza zakres kalibracji. Dopasowanie wielu niepewnych punktów i niepewności parametrów to kolejny etap; rachunek z dwóch punktów jest tu świadomym uproszczeniem.

Odczyt czujnika nie musi zaczynać się od zera

Czujnik może dawać niezerowe napięcie także wtedy, gdy mierzona wielkość jest zerowa. Może to być zamierzone przesunięcie układu albo cecha toru pomiarowego. Dzielenie każdego odczytu przez jedną stałą bez uwzględnienia tego napięcia nadałoby zeru fizycznemu niezerową wartość. Kalibracja wiąże odczyt z wielkością odniesienia, a nie tylko nadaje cyfrze jednostkę.

W modelu U=ax+b nachylenie a mówi, o ile zmienia się napięcie przy jednostkowej zmianie x. Wyraz b mówi, co wskazuje czujnik przy x=0. Parametry mają inne jednostki i inne zadania. Aby z odczytu odzyskać x, rozwiązujemy równanie: x=(U−b)/a. Kolejność odejmowania i dzielenia jest ważna; wyrażenie U/a−b zwykle ma nawet niespójne jednostki.

Przykład: termometr z napięciem przesunięcia

W 0°C mamy 0,40 V, w 50°C 1,40 V. Czułość wynosi(1,40−0,40)/(50−0)=0,020 V/°C, a b=0,40 V. Dla 0,90 V otrzymujemy(0,90−0,40)/0,020=25°C. Wynik jest w połowie zakresu, bo napięcie też leży pośrodku dwóch punktów. To kontrola niezależna od samego wzoru: poprawny model liniowy powinien zachować taki stosunek odległości.

Gdybyśmy zapomnieli o b, otrzymalibyśmy 45°C, mimo że odczyt 0,90 V jest daleko od 1,40 V odpowiadającego 50°C. Podstawienie odzyskanej temperatury z powrotem do modelu daje 0,020·25+0,40=0,90 V. Ten prosty krok odwrotny warto robić również w zadaniach z siłą, położeniem i natężeniem światła.

Przykład: zero poza dwoma podanymi punktami

Dynamometr daje 0,30 V przy 2 N oraz 1,10 V przy 10 N. Nie ma wśród danych punktu przy zerowej sile, ale w modelu liniowym a=(1,10−0,30)/(10−2)=0,10 V/N. Wyraz b wyznaczamy z dowolnego punktu:0,30−0,10·2=0,10 V. Odczyt 0,75 V oznacza 6,5 N. Sprawdzenie drugiego punktu daje 0,10·10+0,10=1,10 V.

Wniosek o napięciu przy 0 N jest tutaj przedłużeniem prostej poza zakres 2–10 N. W zadaniu zależność liniową przyjęto jako założenie, więc rachunek jest dozwolony. W prawdziwym wzorcowaniu należałoby skontrolować zero osobno. Interpolacja między sprawdzonymi punktami i ekstrapolacja poza nie mają różną siłę uzasadnienia; podobny wygląd wzoru nie usuwa tej różnicy.

Dwa punkty wyznaczają model, trzeci go sprawdza

Prosta przez(0 N,0 V) i(10 N,1 V) przewiduje 0,50 V przy 5 N. Jeśli pomiar daje 0,60 V, reszta wynosi +0,10 V. Ta kalibracja przeliczyłaby odczyt na 6 N, o 1 N za dużo względem zadanego obciążenia. Mamy informację o rozbieżności, ale bez oceny niepewności i powtórzeń nie wolno przesądzić, że przyczyną jest nieliniowość. Może wystąpić dryf, błąd zadania obciążenia albo omyłka odczytu.

Warto narysować reszty względem wielkości wejściowej, zamiast patrzeć tylko na efektowną prostą. Przypadkowe odchylenia i uporządkowany łuk wymagają różnych wyjaśnień. Powtórzenie punktów w odwróconej kolejności może ujawnić histerezę lub zależność od czasu. Nie poprawiamy surowych danych tak, aby idealnie trafiły w model; to model ma zostać skonfrontowany z danymi.

Niepewność po przeliczeniu

Przy dokładnych a i b zmiana napięcia δU daje δx=δU/a, więc u(x)=u(U)/|a|. Dla U=0,50+(2,0 V/m)x oraz odczytu 1,30 V z u=0,02 V mamy x=0,40 m i u=0,01 m. Sprawdź się: czy mniejsze u(U) wystarczy do dowolnie dokładnego x? Nie, jeśli same a i b są niepewne. W rzeczywistym modelu trzeba uwzględnić ich niepewności i często również korelację.

Wzorcowanie, poprawka i zmiana skali temperatury

Wzorcowanie ustala związek między wskazaniem a wartościami odniesienia wraz z ich niepewnościami. Nie jest tym samym co regulacja przyrządu, która fizycznie zmienia jego wskazania. W naszych przykładach przyrządu nie regulujemy: stosujemy równanie przeliczenia. Napięcie 0,40 V nie jest więc automatycznie „błędem 0,40 V”; jest wyrazem wolnym przyjętego modelu.

Gdy temperaturę zapisujemy w kelwinach, \frac{T}{\mathrm{K}}=\frac{\theta}{^\circ\mathrm{C}}+273{,}15, gdzie T i θ są temperaturą wyrażoną odpowiednio w kelwinach i stopniach Celsjusza. Lepiej przeprowadzić zamianę jawnie: 25°C odpowiada 298,15 K, natomiast różnica 50°C ma tę samą wartość liczbową co różnica 50 K. Model U=(0{,}020\,\mathrm{V/K})(T-273{,}15\,\mathrm{K})+0{,}40\,\mathrm{V} daje te same wskazania co model w skali Celsjusza. Jego wyraz wolny po rozwinięciu to −5,063 V; nie jest to przewidywanie sprawdzonego działania czujnika przy 0 K.

Przy dopasowaniu wielu punktów czułość i wyraz wolny zwykle mają niepewności i mogą być skorelowane. Zawężenie samej działki woltomierza nie usuwa tej informacji. Warto zapisać zakres wzorcowania oraz punkt kontrolny niewykorzystany do wyznaczenia parametrów: dopiero taki punkt sprawdza przewidywanie modelu.

Zadania do tego tematu

• Temperatura z czujnika mającego napięcie zerowe różne od zera
• Czułość dynamometru odczytana z dwóch obciążeń
• Punkt kontrolny ujawnia ograniczenie kalibracji dwupunktowej
• Niewielka niepewność napięcia po przeliczeniu na położenie

Dalsza lektura

Materiał referencyjny