Wahadło matematyczne: kiedy okres nie zależy od amplitudy?

Potrzebne wiadomości: Siła ciężkości, ruch okresowy i pierwiastek kwadratowy.

Od siły do okresu

Wahadło matematyczne zastępuje ciężarek punktem o masie m, zawieszonym na lekkiej, nierozciągliwej nici długości l. Składowa ciężkości przywracająca równowagę ma wartość mg\sin\theta. Dla małego kąta w radianach \sin\theta\approx\theta. Wtedy ruch jest w przybliżeniu harmoniczny, a T=2\pi\sqrt{l/g}. Masa skraca się w równaniu.

Długość liczymy od punktu zawieszenia do środka masy ciężarka, nie tylko do końca nici. Okres to czas pełnego powrotu do tego samego położenia z takim samym zwrotem ruchu. Przejście między skrajnymi wychyleniami trwa połowę okresu. Częstotliwość f=1/T ma jednostkę Hz.

Co zmieni okres?

Czterokrotnie większa długość daje okres dwa razy dłuższy. Zmiana masy przy tych samych warunkach nie zmienia okresu modelowego. Dla l=1 m oraz g≈9,87 m/s² otrzymujemy T≈2 s. Użycie cięższego ciężarka nie powinno zmienić tego wniosku, o ile nić się nie wydłuża i opory są pomijalne.

Niezależność od amplitudy jest przybliżeniem małych drgań. Przy dużych wychyleniach okres wzrasta i prosty wzór nie wystarcza. Tarcie w zawieszeniu, opór powietrza i ruch podpory także mogą zmieniać obserwację. Do pomiaru lepiej mierzyć czas wielu pełnych okresów niż jeden krótki przedział.

Zadania do tego tematu

• Dwadzieścia pełnych wahnięć
• Dziewięciokrotna długość nici
• Przyspieszenie g z wahadła o znanej długości

Dalsza lektura

Materiał referencyjny