Przyspieszenie g z wahadła o znanej długości

Rozwiązanie

Odwróć zależność na okres

Najpierw podnosimy T=2π√(l/g) do kwadratu: T²=4π²l/g. Następnie mnożymy przez g i dzielimy przez T². Dostajemy g=4π²l/T². Nie odwracamy tylko samego pierwiastka, bo zmieniłoby to potęgi oraz jednostki.

W liczniku jest długość, w mianowniku czas do kwadratu, więc wynik ma jednostkę m/s². Dane dotyczą małych drgań; duże wychylenie nie byłoby błędem rachunku, lecz zmianą poprawności modelu.

Wstawienie liczb dopiero po przekształceniu równania chroni przed zgubieniem kwadratu okresu:

T^2=\frac{4\pi^2l}{g}\quad\Longrightarrow\quad gT^2=4\pi^2l\quad\Longrightarrow\quad g=\frac{4\pi^2l}{T^2}.

g=\frac{4\cdot9{,}87\cdot0{,}81\ \mathrm m}{(1{,}80\ \mathrm s)^2}=\frac{31{,}9788\ \mathrm m}{3{,}24\ \mathrm{s^2}}=9{,}87\ \mathrm{m/s^2}.

W dodatkowej próbie nie zmieniamy zmierzonego T. Zmieniony zostaje tylko odcinek błędnie nazwany długością wahadła:

\frac{g'-g}{g}=\frac{l'-l}{l}=\frac{0{,}79-0{,}81}{0{,}81}\approx-0{,}02469.

Otrzymujemy zaniżenie o około 2,47%, czyli g′ ≈ 9,63 m/s². Nie jest to fizyczne osłabienie grawitacji po skróceniu odcinka na rysunku. To systematyczna zmiana wyniku wyznaczonego z niewłaściwej długości.

Wynik z danych

g=4\pi^2l/T^2=9{,}87 m/s². Długość mierzymy od punktu zawieszenia do środka masy ciężarka. Błąd w tej długości bezpośrednio zmieni wyznaczone g.

Wpływ źle zmierzonej długości

Przy tym samym T obliczone g jest proporcjonalne do l. Użycie 0,79 m da g′=9,87·0,79/0,81≈9,63 m/s², około 2,47% mniej. Sama zmiana długości o 2 cm nie wygląda duża, lecz przekłada się wprost na wynik.

Dlatego mierzymy do środka ciężarka, a nie do węzła na jego górze. Pomiar wielu okresów ogranicza błąd czasu, ale nie naprawia systematycznie źle wybranych końców odcinka długości.

Powiązana teoria

Wahadło matematyczne: kiedy okres nie zależy od amplitudy?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny