Faza drgań i energia: jak odczytać stan oscylatora?

Potrzebne wiadomości: Podstawowy opis drgań harmonicznych, sinus i energia sprężyny.

Jedno położenie nie opisuje całego ruchu

Ciężarek w połowie odległości między środkiem a skrajnym wychyleniem może właśnie oddalać się od środka albo do niego wracać. Położenie jest takie samo, prędkość ma przeciwny znak. Dopiero para położenie–prędkość ustala chwilowy stan oscylatora. W zapisie sinusoidalnym tę informację przenosi faza.

Wybieramy oś x, położenie równowagi x = 0 i dodatni zwrot. Amplituda A jest dodatnią największą wartością |x|. Częstość kołowa ω = 2π/T ma jednostkę rad/s; nie jest tym samym co częstotliwość f = 1/T. Argument funkcji trygonometrycznej podajemy w radianach.

Trzy przebiegi o wspólnym okresie

Dla x=A\cos(\omega t+\varphi) prędkość wynosi v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi), a przyspieszenie a=-\omega^2x. Przyspieszenie ma przeciwny zwrot do wychylenia, nie zawsze do prędkości. W skrajnych położeniach szybkość jest zerowa, ale wartość przyspieszenia największa. W równowadze jest odwrotnie.

Na wykresie x(t) prędkość rozpoznajemy po nachyleniu. Dwie jednakowe wartości x na rosnącym i malejącym odcinku oznaczają różne znaki v. Faza φ ustala stan w chwili przyjętej jako t=0; zmiana początku czasu zmienia φ, nie fizyczny okres.

Odczytaj pochodne z kształtu wykresu

Prędkość jest nachyleniem wykresu x(t). Na szczycie kosinusa nachylenie jest zerowe, choć krzywa jest najmocniej wygięta w stronę równowagi. Ta krzywizna odpowiada niezerowemu przyspieszeniu. W chwili przejścia przez x = 0 nachylenie może być największe co do wartości, a przyspieszenie chwilowo zerowe.

Prześledźmy x = 0,10 cos(4t) m od t = 0: początkowo x = 0,10 m, v = 0 i a = −1,60 m/s². Po T/4 ciężarek ma x = 0 i v = −0,40 m/s. Po T/2 jest przy x = −0,10 m, a przyspieszenie +1,60 m/s² kieruje go z powrotem ku środkowi. Po 3T/4 przechodzi przez środek z v = +0,40 m/s. Dopiero po T wraca do stanu początkowego.

Podział energii

Dla liniowej sprężyny energia całkowita to E=kA^2/2, potencjalna E_p=kx^2/2, a kinetyczna E_k=k(A^2-x^2)/2. Gdy x=A/2, energia potencjalna stanowi 1/4 całej, a kinetyczna 3/4. Nie dzielą się po połowie tylko dlatego, że ciężarek jest w połowie drogi.

Energia potencjalna ma dwa maksima na pełny okres x(t), bo zależy od x². W pionowym układzie wychylenie liczymy od położenia równowagi, a bilans obejmuje także grawitację.

Znajdź prędkość z energii

Równość mv²/2 = k(A² − x²)/2 daje v=\pm\omega\sqrt{A^2-x^2}. Znak ± nie jest ozdobą: energia ustala szybkość, lecz nie kierunek. W punkcie x = A/2 otrzymamy |v| = √3 Aω/2. Dla A = 0,10 m i ω = 4 rad/s daje to około 0,346 m/s. Znak wybieramy z fazy lub z informacji, czy ciężarek wraca do środka.

Jeśli energie potencjalna i kinetyczna mają być równe, potrzebujemy x²/A² = 1/2. Stąd x = ±A/√2, czyli około ±0,707A. Równego podziału energii nie daje połowa wychylenia. Taki wynik sprawdza zarówno interpretację wzoru, jak i rozumienie kwadratu w energii sprężystości.

Przy drganiach bez tłumienia E pozostaje stałe. Gdy wykres amplitudy maleje, nie wolno nadal używać jednej niezmiennej A dla całego przebiegu. Trzeba rozszerzyć model o wymianę energii z otoczeniem.

Zadania do tego tematu

• Stan ciężarka po ćwiartce okresu
• Energia w połowie amplitudy
• Dwa maksima energii podczas jednego drgania

Dalsza lektura

Materiał referencyjny