Dziewięciokrotna długość nici

Rozwiązanie

Porównaj dwa okresy

W obu stanach obowiązuje model małych drgań T=2π√(l/g), a g się nie zmienia. Dzieląc nowy okres przez stary, skracamy wspólne 2π i g. Pozostaje T₂/T₁=√(l₂/l₁). To prostsze niż próba odtwarzania niepodanej długości w metrach.

Ponieważ l₂/l₁=9, stosunek okresów wynosi 3. Pierwiastek ma znaczenie fizyczne: okres nie rośnie proporcjonalnie do długości.

Oznaczmy początkową długość przez l₁, nową przez l₂ = 9l₁. Przy niezmienionym g dzielimy całe wzory na okres, a nie tylko liczby pod pierwiastkiem:

\frac{T_2}{T_1}=\frac{2\pi\sqrt{l_2/g}}{2\pi\sqrt{l_1/g}}=\sqrt{\frac{l_2}{l_1}}=\sqrt9=3,\qquad T_2=3\cdot0{,}80\ \mathrm s=2{,}40\ \mathrm s.

Iloraz T₂/T₁ nie ma jednostki. W dodatkowej próbie l₃ = 9l₁ i g₃ = g₁/4, dlatego najpierw zapiszmy oba ilorazy:

\frac{T_3}{T_1}=\sqrt{\frac{l_3}{l_1}\frac{g_1}{g_3}}=\sqrt{9\cdot4}=6,\qquad T_3=4{,}80\ \mathrm s.

Mniejsze przyspieszenie oznacza słabszą siłę przywracającą przy tym samym wychyleniu. To zgadza się z dłuższym okresem. Gdyby z rachunku wyszedł okres krótszy po zmniejszeniu g, należałoby sprawdzić, który iloraz został odwrócony.

Zmiana samej długości

Nowy okres jest trzy razy dłuższy: 2,40 s. Dziewięciokrotność dotyczy l, nie T. Porównanie nie wymaga znajomości początkowej długości.

Gdy zmienia się także g

Po przeniesieniu dłuższego wahadła do miejsca z g/4 jego okres wzrośnie jeszcze dwukrotnie, do 4,80 s. Łącznie względem pierwotnego układu mamy √(9·4)=6 razy większy okres. Osobne zapisanie obu zmian pomaga nie zamienić g z długością: g występuje w mianowniku, więc mniejsze g wydłuża okres.

W obu porównaniach zakładamy małą amplitudę i niezmienioną rzeczywistą długość nici. Rozciągnięcie nici pod innym obciążeniem byłoby dodatkową zmianą układu.

Powiązana teoria

Wahadło matematyczne: kiedy okres nie zależy od amplitudy?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny