Drgania tłumione i rezonans: skąd bierze się duża amplituda?

Potrzebne wiadomości: Okres, częstotliwość i bilans energii oscylatora.

Swobodne drgania z oporem

W modelu liniowym m\ddot x+b\dot x+kx=0. Składnik b opisuje siłę oporu przeciwną do prędkości. Dla słabego tłumienia obwiednia amplitudy maleje jak A(t)=A_0e^{-bt/(2m)}. Energia związana z obwiednią maleje szybciej, bo jest proporcjonalna do A². Silne tłumienie może usunąć oscylacje i dać sam powrót do równowagi.

Wymuszenie okresowe

Jeżeli dochodzi siła F_0\cos(\Omega t), w stanie ustalonym układ drga z częstością wymuszającą Ω. Amplituda zależy od różnicy względem częstości własnej oraz od tłumienia. W pobliżu rezonansu dopływ energii jest szczególnie skuteczny. Dla małego tłumienia maksimum leży blisko \omega_0=\sqrt{k/m}; nie należy twierdzić, że przy dowolnym tłumieniu zawsze dokładnie w tym samym punkcie.

W stanie ustalonym średnia dostarczana moc równoważy straty. Duża amplituda nie oznacza tworzenia energii z niczego. Gdy źródło przestaje wymuszać ruch, amplituda maleje. Tłumienie spłaszcza i poszerza maksimum rezonansowe.

Jeżeli po każdym okresie amplituda pozostaje równa 0,8 poprzedniej, energia pozostaje równa 0,64 poprzedniej. To utrata 36%, nie 20%. Modele liniowe przestają wystarczać przy dużych odkształceniach; rzeczywiste konstrukcje nie są idealnymi oscylatorami o nieograniczonej amplitudzie.

Zadania do tego tematu

• Dwa kolejne spadki amplitudy
• Dlaczego mniejsze tłumienie daje wyższy szczyt rezonansu?
• Częstotliwość ruchu po ustaleniu wymuszenia

Dalsza lektura

Materiał referencyjny