Częstotliwość ruchu po ustaleniu wymuszenia

Rozwiązanie

Rozdziel własny rytm i narzucony rytm

Częstotliwość własna opisuje swobodną odpowiedź układu. Częstotliwość siły wymuszającej opisuje zewnętrzny sygnał, który stale dostarcza energię. W stanie ustalonym liniowy układ odpowiada z rytmem tego sygnału, choć amplituda i przesunięcie fazy zależą od właściwości oscylatora.

Treść mówi, że stan przejściowy już zanikł. Nie należy więc dodawać dwóch częstotliwości ani wybierać 2 Hz tylko dlatego, że nazwano ją własną.

W odpowiedzi wymuszonej x(t) = A cos(Ωt − δ) faza δ i amplituda A mogą być różne dla różnych oscylatorów. Mimo to jedno powtórzenie siły po czasie 1/(3 Hz) odpowiada jednemu powtórzeniu tej odpowiedzi:

f=3\ \mathrm{Hz},\qquad T=\frac1f=\frac13\ \mathrm s.

Po wyłączeniu siły nie znika natychmiast ani wychylenie, ani prędkość. To właśnie ich wartości w chwili wyłączenia stają się danymi początkowymi drgań swobodnych. Zapisanie chwili wyłączenia zapobiega błędnemu wyobrażeniu, że ciężarek musi od razu stanąć w równowadze.

W dokładnym modelu z oporem proporcjonalnym do prędkości częstość kołowa swobodnych drgań tłumionych wynosi:

\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\left(\frac{b}{2m}\right)^2},\qquad \omega_0=2\pi\cdot2\ \mathrm{Hz}.

Stosujemy ten zapis, gdy wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie. Dla słabego tłumienia poprawka jest mała, więc częstotliwość jest bliska 2 Hz. Bez b i m nie obliczymy ani dokładnej wartości, ani czasu zaniku amplitudy.

Wymuszenie nadal działa

W stanie ustalonym drga z częstotliwością 3 Hz. Częstotliwość własna wpływa na amplitudę i fazę odpowiedzi, lecz nie zastępuje częstości wymuszenia. Początkowo obie składowe mogą być widoczne.

Po wyłączeniu wymuszenia

Pozostanie ruch swobodny wyznaczony przez położenie i prędkość w chwili wyłączenia. Przy słabym tłumieniu będzie oscylował z częstotliwością bliską własnym 2 Hz, a amplituda zaniknie. Nie musi utrzymywać 3 Hz, bo zniknął zewnętrzny rytm.

Dokładna częstotliwość tłumionych drgań swobodnych jest nieco mniejsza od nietłumionej. Bez wartości tłumienia nie obliczymy jej dokładnie ani czasu zaniku. Odpowiedź jakościowa powinna zaznaczać tę granicę danych.

Powiązana teoria

Drgania tłumione i rezonans: skąd bierze się duża amplituda?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny