Dwa kolejne spadki amplitudy

Rozwiązanie

Kolejne procenty dotyczą wartości pozostałej

Po pierwszym okresie z 5 cm pozostaje 4 cm. Po drugim mnożymy przez 0,80 już te 4 cm, a nie początkowe 5. Zapis ogólny to An=A₀·0,80ⁿ. Nie odejmujemy za każdym razem 1 cm.

Energia liniowego oscylatora przy porównaniu odpowiadających sobie maksimów jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Dlatego jej ułamek to (Aₙ/A₀)². To drugi krok, oddzielny od obliczenia amplitudy.

Rozpiszmy amplitudę i energię dla tych samych chwil, zamiast używać jednego procentu dla obu wielkości:

Energię porównujemy w kolejnych skrajnych położeniach, gdzie prędkość jest zerowa. Dla tej samej liniowej sprężyny Eₙ = kAₙ²/2, więc:

\frac{E_n}{E_0}=\frac{kA_n^2/2}{kA_0^2/2}=\left(\frac{A_n}{A_0}\right)^2=(0{,}80)^{2n}.

Już po jednym okresie pozostaje 64% energii, czyli ubywa 36%. Po dwóch okresach nie odejmujemy dwóch razy 36% początkowej energii; drugi ubytek dotyczy energii, która została po pierwszym.

Dwa okresy

A₂=5·0,8²=3,2 cm. Ułamek energii wynosi 0{,}8^4=0{,}4096, czyli 40,96%. Nie wolno odejmować po prostu dwa razy 20% początkowej amplitudy.

Trzeci okres

Po trzech okresach A₃=5·0,80³=2,56 cm. Pozostaje 0,80⁶=0,262144 energii początkowej, czyli około 26,21%. Zanik amplitudy i zanik energii nie mają tego samego procentu.

Spadki amplitudy wynosiły kolejno 1 cm, 0,8 cm i 0,64 cm. Stały był stosunek, nie różnica. Jeśli doświadczenie dawałoby stałe różnice kolejnych maksimów, należałoby sprawdzić inny model oporów zamiast z góry narzucać ten przebieg.

Powiązana teoria

Drgania tłumione i rezonans: skąd bierze się duża amplituda?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny