Dlaczego mniejsze tłumienie daje wyższy szczyt rezonansu?

Rozwiązanie

Porównujemy odpowiedź ustaloną

Masa i sprężyna ustalają tę samą częstość własną, a wymuszenie ma w obu przypadkach tę samą amplitudę. Jedyną zmienioną cechą jest tłumienie. Przy danym ruchu słabiej tłumiony układ traci mniej energii, więc może osiągnąć większy ruch, zanim średnie straty zrównają się z dopływem.

Nie chodzi o tworzenie energii z niczego. Zasilanie zapewnia zewnętrzna siła. Potrzeba też czasu, aby po stanach przejściowych ukształtowała się odpowiedź ustalona.

Podany wzór pozwala przeprowadzić porównanie bez wymyślania nieznanych wartości masy i sprężyny. Niech początkowy współczynnik wynosi b₁, a drugi b₂ = b₁/2. W obu doświadczeniach wymuszamy z tą samą częstością ω₀:

\frac{A_2}{A_1}=\frac{F_0/(b_2\omega_0)}{F_0/(b_1\omega_0)}=\frac{b_1}{b_2}=2.

Warto rozumieć także bilans, który kryje się za tym wynikiem. Przy Ω = ω₀ odpowiedź ustalona ma prędkość zgodną w fazie z siłą. Maksymalna szybkość wynosi ω₀A. Dla sinusoidy średnia moc dostarczana to F₀ω₀A/2, a średnia moc tracona przez opór −bv to bω₀²A²/2. Ich zrównanie daje:

\frac{F_0\omega_0A}{2}=\frac{b\omega_0^2A^2}{2}\quad\Longrightarrow\quad A=\frac{F_0}{b\omega_0}.

Średnia z kwadratu sinusa lub kosinusa przez pełny okres wynosi 1/2. To wyjaśnia czynnik 1/2 w obu mocach. Mniejsze b pozwala na większą A; przy nowej amplitudzie rosną również prędkości i straty. Nie porównujemy zatem samych wartości b bez informacji o ruchu.

Wniosek jakościowy

Mniejsze tłumienie oznacza mniejsze straty przy danym ruchu, więc stan ustalony może mieć większą amplitudę. Maksimum jest zwykle węższe. Nie wynika z tego dowolnie duży ruch rzeczywistego układu: ograniczają go m.in. nieliniowość i skończony czas wymuszania.

Proste porównanie ilościowe

Przy dokładnie ω₀ podany wzór daje amplitudę odwrotnie proporcjonalną do b. Dwukrotnie mniejsze b daje więc dwukrotnie większą amplitudę, przy niezmienionych pozostałych parametrach. Nie jest to uniwersalna reguła dla każdej częstości: poza tym punktem w mianowniku pozostaje również różnica k−mΩ².

Rzeczywisty układ może przy dużym ruchu wyjść poza model liniowy. Wniosku o dwukrotnej amplitudzie nie należy bez sprawdzenia rozszerzać na dowolnie małe b i dowolnie duże odkształcenia.

Powiązana teoria

Drgania tłumione i rezonans: skąd bierze się duża amplituda?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny