Seria pomiarów: średnia, rozrzut i niepewność średniej

Potrzebne wiadomości: Średnia arytmetyczna, potęgowanie i pierwiastek kwadratowy.

Dwie różne miary

Dla n niezależnych pomiarów tej samej, niezmieniającej się wielkości obliczamy średnią \bar{x}=(x_1+\ldots+x_n)/n. Rozrzut pojedynczych wyników opisuje odchylenie standardowe z próby: s=\sqrt{\sum_i(x_i-\bar{x})^2/(n-1)}. Mianownik n−1 uwzględnia to, że średnią oszacowaliśmy z tych samych danych.

Standardowa niepewność średniej oceniona z takiej serii wynosi u_A(\bar{x})=s/\sqrt{n}. Nie dzielimy samej średniej przez pierwiastek z liczby pomiarów. Zwiększenie n zmniejsza niepewność średniej, ale nie sprawia, że pojedynczy odczyt staje się mniej rozrzucony.

Przykład

Dla czasów 1,9 s, 2,0 s i 2,1 s średnia wynosi 2,0 s. Suma kwadratów odchyleń to 0,02 s², zatem s=0,10 s, a niepewność średniej około 0,058 s. Tak mała seria daje jednak słabo ustaloną ocenę rozrzutu. Z samego zapisu ±u nie wynika automatycznie dokładny przedział o 95-procentowym poziomie ufności.

Warunek niezależności ma znaczenie. Jeżeli termometr przez cały eksperyment zawyża o 1°C, tysiąc odczytów nie usunie tego przesunięcia. Dryf temperatury podczas serii może z kolei oznaczać, że nie mierzymy już stałej wielkości. Ocena typu A jest częścią opisu pomiaru, a nie zamiennikiem oceny przyrządu i metody.

Zadania do tego tematu

• Cztery pomiary długości i dwa różne odchylenia
• Ile powtórzeń potrzeba, aby zmniejszyć niepewność trzy razy?
• Sto zgodnych odczytów z rozkalibrowanej wagi
• Czy rosnąca seria temperatur nadaje się do zwykłego uśrednienia?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny