Czy rosnąca seria temperatur nadaje się do zwykłego uśrednienia?

Rozwiązanie

Średnia arytmetyczna jest jednoznaczna

Suma temperatur wynosi 82,4°C, więc średnia 20,6°C. To poprawny opis środka czterech liczb. Nie oznacza jednak, że założenie stałej temperatury równowagi jest spełnione. Kolejne odczyty rosną dokładnie o 0,4°C na minutę.

Zachowujemy informację o czasie

Na wykresie temperatury względem kolejnych minut punkty tworzą prostą rosnącą. Może to oznaczać rzeczywiste nagrzewanie albo dryf czujnika. Średnia, s i liczba odczytów same nie rozstrzygają między tymi przyczynami, ponieważ nie wykorzystują kolejności punktów.

Wynik

Średnia wynosi (20{,}0+20{,}4+20{,}8+21{,}2)/4=20{,}6°C. Wyniki rosną regularnie, co wskazuje na możliwy proces nagrzewania lub dryf przyrządu. Nie mamy podstaw, aby traktować serię jako niezależne wahania wokół stałej temperatury równowagi. Trzeba zbadać przyczynę trendu i zaczekać na stabilizację albo jawnie analizować temperaturę jako funkcję czasu.

Jak poprawić opis?

Jeżeli celem jest temperatura równowagi, trzeba poczekać na stabilizację i sprawdzić ją kolejnymi odczytami. Jeżeli celem jest nagrzewanie, właściwym modelem może być temperatura jako funkcja czasu, a nie jedna stała. W tej serii nachylenie wynosi 0,4°C/min, a średnia odpowiada wartości w środku obserwowanego czasu.

Wariant: przestawienie kolejności do 20,8;20,0;21,2;20,4°C nie zmieniłoby średniej ani odchylenia standardowego, lecz zmieniłoby widoczny trend. Dlatego surowe dane należy przechowywać z kolejnością i czasem. Nie wolno z małej liczby rozrzuconych odczytów wyciągać silniejszego wniosku o stabilności, niż pozwala obserwacja.

Co znika po zastąpieniu serii jedną liczbą?

Cztery odczyty co minutę obejmują trzy odstępy: od t=0 do t=3 min. Zmiana 21,2−20,0=1,2°C daje 1,2/3=0,4°C/min. Dzielenie przez cztery pomyliłoby liczbę odczytów z długością obserwacji.

Oba panele mają średnią 20,6°C i odchylenie z próby około 0,516°C. Sam rachunek s/√4 dałby około 0,258°C w obu przypadkach, ponieważ nie uwzględnia kolejności. Nie stanowi to uzasadnienia niepewności temperatury równowagi dla rosnącej serii. Dolny panel nie jest zaleceniem przestawiania danych i również nie dowodzi stabilności na podstawie zaledwie czterech punktów. Zachowujemy oryginalne czasy, badamy przyczynę trendu i dobieramy model do celu pomiaru.

Ta sama średnia, inna wiedza o przebiegu

Przestawmy te same temperatury w kolejności 20,0; 21,2; 20,4; 20,8 °C. Średnia i odchylenie standardowe nie zmienią się, bo nie zależą od kolejności składników sumy. Zniknie jednak jednostajny wzrost widoczny w pierwotnym zapisie. Wniosek o dryfie opiera się więc na porządku czasowym danych, którego nie wolno usunąć podczas sortowania. Do dalszej próby zapisz chwile odczytów i równolegle sprawdź stabilny termometr odniesienia. Wzrost obu wskazań wspiera hipotezę zmiany temperatury, wzrost tylko jednego każe sprawdzić czujnik lub jego opóźnienie.

Powiązana teoria

Seria pomiarów: średnia, rozrzut i niepewność średniej

Dalsza lektura

Materiał referencyjny