Cztery pomiary długości i dwa różne odchylenia

Rozwiązanie

Najpierw średnia, potem odchylenia

Mamy cztery niezależne wyniki w tej samej jednostce. Suma 10+12+11+11=44 mm daje średnią 11 mm. Odchylenia od średniej wynoszą −1,+1,0,0 mm. Ich suma jest zerowa, dlatego do rozrzutu używamy kwadratów:1+1+0+0=2 mm².

Nie mylimy dwóch pierwiastków

Odchylenie z próby wymaga podzielenia przez n−1=3 i dopiero pierwiastka: s=√(2/3) mm. Niepewność średniej otrzymujemy, dzieląc s przez √n=2. Nie dzielimy średniej 11 mm przez 2, bo niepewność dotyczy rozrzutu, a nie wartości mierzonej długości.

Wynik

Średnia wynosi 11 mm. Otrzymujemy s=\sqrt{2/3}\approx0{,}816 mm. Niepewność średniej to u_A=s/\sqrt{4}\approx0{,}408 mm. W zapisie z dwiema cyframi niepewności wynik można podać jako 11,00 mm z u=0,41 mm. Niepewność jest standardowa, a nie zadeklarowaną granicą błędu każdego pomiaru.

Sprawdzenie interpretacji

Wynik u≈0,408 mm jest mniejszy od s≈0,816 mm, co odpowiada uśrednianiu czterech niezależnych pomiarów. Zapis 11,00 mm z u=0,41 mm wyrównuje miejsca dziesiętne wyniku i niepewności; nie zmienia surowych odczytów. Nie oznacza twardych granic przyszłych pomiarów ani automatycznie przedziału 95%.

Wariant: dla 16 niezależnych pomiarów przy podobnym s niepewność średniej wyniosłaby około 0,204 mm. Sam rozrzut pojedynczych odczytów pozostałby podobny. Gdyby wszystkie wyniki zawierały wspólne przesunięcie zera, ta część błędu nie zmalałaby przez zwiększenie n.

Jak odczytać różnicę między s i u_A?

Numer odczytu na górnym wykresie identyfikuje wynik; nie podano odstępów czasu, więc nie jest to wykres prędkości zmian długości. Dwa punkty leżą na poziomie 11 mm, a dwa pozostałe są o 1 mm niżej i wyżej. Średnia porządkuje dane, ale nie zastępuje żadnego z czterech surowych odczytów.

Paski pod wykresem mają wspólną skalę: pasek s jest dokładnie dwa razy dłuższy od paska u_A, ponieważ √4=2. Pierwszy opisuje rozrzut pojedynczych pomiarów; drugi opisuje standardową niepewność oszacowania średniej przy przyjętych założeniach. Nie należy odczytywać ich końców jako największego i najmniejszego możliwego wyniku ani jako automatycznego przedziału 95%.

Co oznacza zerowa suma odchyleń?

Z definicji średniej \sum_i(x_i-\bar{x})=\sum_i x_i-n\bar{x}=0. Dlatego zwykła średnia odchyleń nie mierzy rozrzutu. Gdybyśmy zamiast 10, 12, 11, 11 mm zapisali 9, 13, 11, 11 mm, średnia nadal wyniosłaby 11 mm, lecz suma kwadratów wzrosłaby z 2 do 8 mm². Odchylenie s i niepewność średniej wzrosłyby dwukrotnie: do około 1,633 mm oraz 0,816 mm. Ten przykład oddziela informację o położeniu środka od informacji o szerokości serii.

Powiązana teoria

Seria pomiarów: średnia, rozrzut i niepewność średniej

Dalsza lektura

Materiał referencyjny