Ile powtórzeń potrzeba, aby zmniejszyć niepewność trzy razy?

Rozwiązanie

Używamy zależności od pierwiastka liczności

Przy stałym rozrzucie u=s/√n, więc u₁/u₂=√(n₂/n₁). Żądany stosunek 0,12/0,04 wynosi 3. Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy n₂/n₁=9. Mnożymy początkowe 9 odczytów przez 9, a nie przez 3.

Łączna liczba i liczba dodatkowa

Całość powinna mieć 81 pomiarów. Dziewięć już wykonano, więc dodatkowych potrzeba 81−9=72. Te dwie liczby odpowiadają różnym częściom pytania. Wynik 27 odczytów dawałby zmniejszenie niepewności tylko √3 razy, a nie trzykrotnie.

Wynik

Trzykrotne zmniejszenie niepewności wymaga dziewięciokrotnie większej serii: n_2=9(0{,}12/0{,}04)^2=81. Potrzeba 81 pomiarów łącznie, czyli 72 dodatkowych. Prognoza zakłada ten sam rozrzut i niezależność. Jeżeli dominuje stała niepewność przyrządu albo występuje dryf, ta reguła nie opisuje całkowitej niepewności wyniku.

Kontrola i ograniczenie prognozy

Z pierwszej serii oszacowany rozrzut to s=0,12√9=0,36 s. Dla 81 pomiarów 0,36/9=0,04 s, co odtwarza cel. To prognoza przy niezmienionej metodzie, stabilnej wielkości i niezależności wyników. Powtarzanie silnie skorelowanych wskazań nie dostarczy tylu niezależnych informacji.

Wariant: jeżeli dodatkowy standardowy składnik od przyrządu wynosi 0,10 s i jest niezależny od u_A, całkowita niepewność po rozszerzeniu serii wyniesie √(0,04²+0,10²)≈0,108 s. Cel 0,04 s dotyczył więc składnika średniej, a nie automatycznie pełnego wyniku.

Dlaczego punkt dla 27 pomiarów nie wystarcza?

Na osi poziomej odczytujemy liczbę wszystkich pomiarów n, a na pionowej niepewność średniej u_A w sekundach. Punkt n=27 daje 0,36/√27≈0,0693 s. Leży powyżej celu 0,04 s: samo potrojenie liczby powtórzeń nie zmniejsza niepewności trzykrotnie.

Punkt n=81 leży na poziomie 0,04 s i odpowiada dziewięciokrotnie większej liczności niż początkowe 9. W miarę zwiększania n krzywa opada coraz wolniej. Jest to zależność jednego składnika niepewności przy stałym s; wykres nie obiecuje usunięcia dryfu, błędu zera ani składnika od wzorcowania przyrządu.

Granica korzyści z powtarzania

Dodajmy osobny niezależny standardowy składnik przyrządu u_B=0,05 s, wspólny całej serii. Dla pierwotnych 9 pomiarów całkowita niepewność wynosi \sqrt{0{,}12^2+0{,}05^2}=0{,}13\,\mathrm{s}. Po zwiększeniu liczby do 81 składnik typu A spadnie do 0,04 s, ale łącznie otrzymamy około 0,064 s. Całkowitego celu 0,04 s nie da się osiągnąć samym powtarzaniem, bo pozostaje składnik 0,05 s. Rozwiązanie oryginalnego zadania dotyczyło podanego składnika zależnego od liczby powtórzeń.

Powiązana teoria

Seria pomiarów: średnia, rozrzut i niepewność średniej

Dalsza lektura

Materiał referencyjny