Fale stojące na strunie i w słupie powietrza

Potrzebne wiadomości: Fala biegnąca, długość fali, częstotliwość i superpozycja.

Węzły i strzałki

Nałożenie dwóch sinusoidalnych fal o jednakowej amplitudzie i częstotliwości, biegnących w przeciwnych kierunkach, może utworzyć falę stojącą. Węzły są miejscami zerowej amplitudy, a strzałki — miejscami amplitudy największej. Odległość sąsiednich węzłów wynosi λ/2, natomiast odległość węzła od najbliższej strzałki λ/4.

Struna zamocowana na obu końcach

Na każdym zamocowanym końcu musi znajdować się węzeł wychylenia. Na długości L mieści się więc całkowita liczba połówek długości fali:

L=n\frac{\lambda_n}{2},\qquad f_n=\frac{nv}{2L},\qquad n=1,2,3,\ldots

v oznacza prędkość fal biegnących na strunie. Dla n = 1 otrzymujemy częstotliwość podstawową. Następne częstotliwości są jej całkowitymi wielokrotnościami w idealnym modelu struny. Zmiana sposobu zamocowania zmienia warunki, a więc i dozwolone częstotliwości.

Słup powietrza

Przy otwartym końcu idealizowanej rury występuje strzałka przemieszczenia powietrza i węzeł zmian ciśnienia. Przy końcu zamkniętym jest odwrotnie. Trzeba zatem zawsze powiedzieć, czy rysunek przedstawia przemieszczenie, czy ciśnienie.

Dla rury otwartej z obu stron otrzymujemy f_n = nv/(2L). Dla rury zamkniętej na jednym końcu i otwartej na drugim długość zawiera nieparzystą liczbę ćwiartek fali:

f_k=\frac{(2k-1)v}{4L},\qquad k=1,2,3,\ldots

W drugim przypadku kolejne częstotliwości wynoszą f₁, 3f₁, 5f₁. Drugim modem jest trzecia harmoniczna, nie druga harmoniczna. Pomijamy poprawkę końcową, straty oraz wpływ geometrii otworu.

Przykład

Struna o długości 1 m, na której fala biegnie z prędkością 100 m/s, ma częstotliwość podstawową 50 Hz. Drugi mod ma 100 Hz i dodatkowy węzeł w połowie długości. Położenia węzłów się nie przemieszczają, choć punkty między nimi drgają. Nie należy wstawiać do v = λf prędkości ruchu pojedynczego punktu struny — v jest prędkością rozchodzenia się fali.

Zadania do tego tematu

• Fala stojąca — zadanie: trzeci mod struny
• Rezonans powietrza — zadanie: rura zamknięta z jednej strony

Dalsza lektura

Materiał referencyjny