Fala stojąca — zadanie: trzeci mod struny

Rozwiązanie

Najpierw dopasuj kształt do końców

Oba końce są zamocowane, więc muszą być węzłami. Trzeci mod oznacza trzy odcinki pomiędzy kolejnymi węzłami. Każdy odcinek ma długość połowy fali, nie całej fali. Szkic trzech naprzemiennych łuków od razu pokazuje równanie L = 3λ/2 i pozwala policzyć cztery węzły.

Prędkość 120 m/s dotyczy fal biegnących tworzących falę stojącą. Nie jest prędkością drgania punktu struny. Dopiero po znalezieniu λ możemy użyć f = v/λ. Jednostki m/s podzielone przez m dają s⁻¹, zgodnie z hercem.

Oblicz mod i położenia

Dla n = 3 długość fali wynosi λ₃ = 2L/3 = 2 · 0,75/3 = 0,50 m. Częstotliwość jest równa f₃ = v/λ₃ = 120/0,50 = 240 Hz.

Trzy odcinki między kolejnymi węzłami wymagają czterech węzłów: dwóch końcowych i dwóch wewnętrznych.

Odpowiedź: 0,50 m, 240 Hz i cztery węzły.

Częstotliwość podstawowa wynosiłaby 120/(2 · 0,75) = 80 Hz, a trzeci mod ma jej trzykrotność. Odległość sąsiednich węzłów to 0,25 m, nie 0,50 m; pełna długość fali obejmuje dwa takie odstępy.

Co zmienia większe napięcie struny?

Węzły leżą w x = 0; 0,25; 0,50 i 0,75 m od jednego końca. Przy zachowaniu długości struny i numeru modu ta geometria się nie zmienia. Zmiana siły napięcia wpływa na prędkość v = √(F/μ). Czterokrotnie większe F daje dwukrotnie większe v, czyli 240 m/s. Długość fali pozostaje 0,50 m, a częstotliwość rośnie do 480 Hz.

Nie mnożymy przez cztery ani λ, ani f. Od strony warunków brzegowych nadal mamy trzy połówki na tej samej strunie; od strony dynamiki to samo zaburzenie rozchodzi się szybciej. Ten podział argumentów pomaga, gdy zmienia się więcej niż jeden parametr.

Trzy klatki, jeden mod

Okres wynosi T=1/240 s≈4,17 ms. Klatki rysunku odpowiadają chwilom 0, T/4≈1,04 ms i T/2≈2,08 ms. Węzeł jest miejscem, którego wychylenie pozostaje zerowe w każdej chwili. Tymczasowe zero całej struny w środkowej klatce ma inne znaczenie: punkty poza węzłami właśnie przechodzą przez równowagę.

Można to sprawdzić z opisu y(x,t)=Aₛ sin(3πx/L) cos(2πt/T), gdzie Aₛ oznacza amplitudę strzałki. Pochodna po czasie jest największa co do wartości przy przejściu przez równowagę. Punkty struny nie przesuwają się wzdłuż osi x razem z wykresem. Szybkość poprzeczna zależy również od amplitudy, której zadanie nie podaje; nie wolno utożsamić jej z prędkością fali 120 m/s.

Powiązana teoria

Fale stojące na strunie i w słupie powietrza

Dalsza lektura

Materiał referencyjny