Rezonans powietrza — zadanie: rura zamknięta z jednej strony

Rozwiązanie

Narysuj wychylenie powietrza, nie ciśnienie

Przy zamkniętym końcu powietrze nie przesuwa się wzdłuż rury: jest tam węzeł przemieszczenia. Otwarty koniec odpowiada strzałce przemieszczenia. Najkrótszy pasujący fragment fali od węzła do strzałki ma λ/4, więc dla podstawy λ = 4L.

Kolejny pasujący kształt zawiera dodatkową połówkę fali: L = 3λ/4. To daje trzy razy większą częstotliwość przy tej samej prędkości. Dwukrotność nie pasuje do warunków na obu końcach. Sprawdzamy geometrię przed podstawieniem liczb.

Rura zamknięta z jednej strony

Najniższa częstotliwość wynosi f₁ = v/(4L) = 340/(4 · 0,85) = 100 Hz. Następny dozwolony mod odpowiada trzem ćwiartkom fali, więc ma częstotliwość 3f₁ = 300 Hz.

Odpowiedź: 100 Hz i 300 Hz.

Częstotliwość 200 Hz nie spełnia jednocześnie warunku węzła przemieszczenia na końcu zamkniętym i strzałki na otwartym. Jest drugą harmoniczną podstawy, ale nie drugim modem tego idealnego układu. Użycie wzoru v/(2L) opisywałoby inne warunki końcowe, na przykład rurę otwartą z obu stron.

Po otwarciu obu końców

Teraz na obu końcach potrzebujemy strzałek przemieszczenia. Dla pierwszego niezerowego modu pomiędzy nimi mieści się pół długości fali: λ₁ = 2L = 1,70 m. Częstotliwość wynosi 340/1,70 = 200 Hz, a następna 400 Hz.

Ta sama długość rury nie gwarantuje tej samej częstotliwości podstawowej. Zmieniliśmy ograniczenie ruchu powietrza, a więc dozwolone kształty. W praktycznej rurze otwór i jego otoczenie wprowadzają poprawkę końcową; tutaj została wyraźnie pominięta, dlatego nie trzeba dopisywać niepodanej średnicy rury.

Dlaczego wykres ciśnienia miałby inne zera?

Krzywe pokazują przemieszczenie cząstek wzdłuż rury, narysowane na osi pionowej dla czytelności. Nie pokazują poprzecznego wyginania słupa powietrza. Zamknięta ściana wymusza zero tego przemieszczenia; na idealnym otworze zerowa jest natomiast zmiana ciśnienia względem otoczenia.

W opisie małych drgań zmiana ciśnienia jest proporcjonalna do ujemnej pochodnej przemieszczenia po x. Dlatego przy strzałce przemieszczenia, gdzie jego profil ma zerowe nachylenie, występuje węzeł ciśnienia. Dla górnych krzywych rysunku lewy koniec jest nieruchomy, a prawy ma poziomą styczną. Dla dolnych poziome styczne występują na obu końcach. Ten test sprawdza warunki brzegowe niezależnie od podstawienia częstotliwości do gotowego wzoru.

Powiązana teoria

Fale stojące na strunie i w słupie powietrza

Dalsza lektura

Materiał referencyjny