Zamiana jednostek podniesionych do potęgi i jednostek złożonych

Potrzebne wiadomości: Przedrostki jednostek SI, ułamki i potęgowanie.

Przelicznik też podnosimy do potęgi

Jednostka jest częścią rachunku. Skoro 1\,\mathrm{cm}=10^{-2}\,\mathrm{m}, to 1\,\mathrm{cm^2}=10^{-4}\,\mathrm{m^2} oraz 1\,\mathrm{cm^3}=10^{-6}\,\mathrm{m^3}. Można to sprawdzić bez potęg: w kwadracie o boku jednego metra mieści się sto rzędów po sto kwadratów centymetrowych.

Licznik i mianownik osobno

W jednostce złożonej zamieniamy każdą jednostkę oddzielnie. Dla gęstości otrzymujemy 1\,\mathrm{g/cm^3}=10^{-3}\,\mathrm{kg}/(10^{-6}\,\mathrm{m^3})=10^3\,\mathrm{kg/m^3}. Mała jednostka w mianowniku zwiększa wartość ilorazu. Stąd częsta pomyłka: przepisanie przelicznika gramów i pominięcie objętości.

Przykład

Przez rurkę przepływa 180 mililitrów w ciągu minuty. Mililitr jest centymetrem sześciennym, więc strumień objętości wynosi Q=180\cdot10^{-6}/60=3\cdot10^{-6}\,\mathrm{m^3/s}. Najpierw wykonaliśmy zamianę jednostek, potem dzielenie. Kontrola: w 60 sekund przepłynie 0,00018 m³, czyli ponownie 180 mililitrów.

Nie każda zamiana polega wyłącznie na mnożeniu. Temperaturę w stopniach Celsjusza przeliczamy na kelwiny także przez dodanie przesunięcia skali; różnicę temperatur już bez tego przesunięcia. Przed rachunkiem warto więc sprawdzić, czy dana liczba opisuje wartość temperatury, czy jej zmianę.

Jednostki skracamy tak jak czynniki algebraiczne

Zamiana jednostek nie zmienia fizycznej wielkości. Zmieniamy tylko sposób jej zapisania. Można mnożyć przez iloraz równy jeden:100 cm/1 m albo 1 m/100 cm. Wybieramy orientację tak, aby niepotrzebna jednostka się skróciła. Ten sposób jest wolniejszy od przesuwania przecinka w pamięci, ale pokazuje, skąd bierze się przelicznik i pomaga przy jednostkach złożonych.

Dla pola 450 cm² zapisujemy 450 cm²·(1 m/100 cm)²=0,045 m². Kwadrat dotyczy całego ilorazu. Można zobaczyć to na siatce: kwadrat metrowy zawiera 100 rzędów po 100 kwadratów centymetrowych, razem 10000. Wynik 4,5 m² oznaczałby 45000 cm², więc kontrola w drugą stronę od razu wykrywa pomyłkę o czynnik 100.

Przykład: gęstość i dwa zgodne rachunki

Gęstość 1,20 g/cm³ oznacza 1,20 grama na każdy centymetr sześcienny. Gram to 10⁻³ kg, centymetr sześcienny 10⁻⁶ m³. Ich iloraz daje czynnik 10³, więc 1200 kg/m³. Mianownik również trzeba przeliczyć: gdyby zamienić wyłącznie gramy, otrzymalibyśmy 0,00120 kg/cm³, poprawny zapis w innych jednostkach, ale jeszcze nie wynik w kg/m³.

Bryła 250 cm³ ma masę 1,20·250=300 g. W SI objętość to 250·10⁻⁶=0,000250 m³, więc masa 1200·0,000250=0,300 kg. Obie drogi są poprawne, jeżeli jednostki są spójne. Nie istnieje obowiązek przeliczania wszystkiego na SI przed każdym prostym mnożeniem; istnieje obowiązek zgodności jednostek i czytelnego wskazania jednostki wyniku.

Przykład: jednostka czasu w mianowniku

Pompa tłoczy 12 l/min. Litr to 10⁻³ m³, minuta 60 s, zatem strumień 12·10⁻³/60=2·10⁻⁴ m³/s. Dzielimy przez 60, bo ta sama objętość na jedną sekundę jest mniejsza niż na całą minutę. Mnożenie przez 60 odpowiadałoby odwrotnemu przeliczeniu, z wielkości na sekundę na wielkość na minutę.

Zbiornik 0,36 m³ napełni się przy takim stałym przepływie przez 0,36/(2·10⁻⁴)=1800 s, czyli 30 min. Kontrola w litrach jest prostsza:360 l przy 12 l/min również daje 30 min. Założenie stałego przepływu pozostaje ważne: w realnym układzie wysokość podnoszenia i charakterystyka pompy mogą go zmieniać, ale nie ma potrzeby dopisywać tego do modelowych danych.

Mała jednostka w mianowniku daje dużą liczbę

Siła 50 N na 25 mm² daje 2 N/mm². Ponieważ 1 mm²=10⁻⁶ m², ta sama wartość wynosi 2·10⁶ N/m²=2 MPa. Liczba wzrasta milion razy, fizyczne ciśnienie się nie zmienia. Podobnie kilometrów jest mniej niż metrów dla tej samej drogi; wartość liczbowa zależy od wielkości jednostki. Nie wolno porównywać samych liczb 2 i 2000000 bez jednostek.

Wynik p=F/A jest średnią wartością po powierzchni. Sama konwersja nie dostarcza informacji o lokalnym rozkładzie nacisku. To oddzielna cecha modelu, którą można łatwo przeoczyć podczas skupienia na potęgach. Poprawne jednostki są konieczne, lecz nie mówią jeszcze, czy uproszczenie równomiernego oddziaływania pasuje do konkretnego doświadczenia.

Sprawdź się bez kalkulatora

Czy 1 mm³ to 10⁻³ m³? Nie: milimetr ma 10⁻³ m, więc sześcian ma 10⁻⁹ m³. Czy zmiana temperatury o 10°C to 283,15 K? Nie: przyrost wynosi 10 K. Przesunięcie 273,15 dodajemy do wartości temperatury w skali Celsjusza, a nie do każdej różnicy. Najpierw określamy rodzaj wielkości, potem stosujemy regułę konwersji.

Zamiana jednostek jako mnożenie przez jedność

Równość 100\,\mathrm{cm}=1\,\mathrm{m} pozwala utworzyć iloraz równy jedności: 1\,\mathrm{m}/(100\,\mathrm{cm}). Przy zamianie pola mnożymy przez jego kwadrat: 450\,\mathrm{cm^2}\left(\frac{1\,\mathrm{m}}{100\,\mathrm{cm}}\right)^2=\frac{450}{10000}\,\mathrm{m^2}=0{,}045\,\mathrm{m^2}. Jednostki cm² skracają się jawnie. Odwrócenie przelicznika pozostawiłoby cm⁴/m², więc błąd można zobaczyć przed liczeniem.

W ilorazie każdy czynnik przeliczamy zgodnie z jego miejscem i potęgą. Na przykład 1\,\mathrm{g/cm^3}=\frac{10^{-3}\,\mathrm{kg}}{(10^{-2}\,\mathrm{m})^3}=10^3\,\mathrm{kg/m^3}. Przedrostek należy do całej jednostki podniesionej do potęgi. Dlatego 1 mm³ to 10⁻⁹ m³, a 1 mL=1 cm³=10⁻⁶ m³. Symbol litra można zapisać l lub L; w tej lekcji stosujemy l.

W zapisie jednostek wielkość oddzielamy od symbolu odstępem: 5 m, 20 °C. Symbole jednostek nie odmieniają się i nie dostają kropki oznaczającej skrót. Równość wielkości fizycznej zachowujemy podczas całej zamiany, choć wartość liczbowa może rosnąć albo maleć. To lepsza kontrola niż pamięciowa zasada „przesuń przecinek w prawo”.

Zadania do tego tematu

• Dlaczego 450 centymetrów kwadratowych to nie 4,5 metra kwadratowego?
• Gęstość tworzywa zapisana w dwóch układach jednostek
• Strumień wody: litry na minutę i metry sześcienne na sekundę
• Ciśnienie zapisane w niutonach na milimetr kwadratowy

Dalsza lektura

Materiał referencyjny