Analiza wymiarowa: jak odrzucić zły wzór, zanim podstawimy liczby?

Potrzebne wiadomości: Jednostki SI, prędkość, przyspieszenie, siła i energia.

Wymiar to nie jednostka

Metr i centymetr są jednostkami tego samego wymiaru długości. Oznaczmy długość przez L, czas przez T, a masę przez M. Wtedy [v]=LT^{-1}, [a]=LT^{-2}, [F]=MLT^{-2}. Nawiasy oznaczają tu wymiar, nie wartość wielkości.

Obie strony równania i wszystkie składniki sumy muszą mieć zgodne wymiary. W wyrażeniu v_0t+at^2/2 oba składniki są długościami. W v_0t+at/2 drugi składnik jest prędkością. Takiego wzoru na drogę nie uratuje żadne podstawienie liczb.

Co można ustalić bez rozwiązania ruchu?

Załóżmy, że okres zależy tylko od długości l i przyspieszenia g: T=C l^a g^b. Porównanie wymiarów daje T=L^{a+b}T^{-2b}, więc b=−1/2 i a=1/2. Otrzymujemy T=C\sqrt{l/g}. Nie wyznaczyliśmy liczby C ani nie udowodniliśmy, że pominięte parametry rzeczywiście są nieistotne. Dla wahadła duża amplituda także wpływa na okres.

Wymiary nie rozróżnią mv² od mv²/2. Argument logarytmu, funkcji wykładniczej czy sinusa powinien być bezwymiarowy: zapis \exp(-t/\tau) spełnia ten warunek. Zgodność wymiarów jest więc konieczna, lecz niewystarczająca do uznania wzoru za poprawny.

Zadania do tego tematu

• Który z trzech kandydatów może opisywać drogę hamowania?
• Jaki wymiar ma współczynnik oporu kwadratowego?
• Stała czasowa w wykładniczym zaniku
• Czy sam wymiar wyznaczy energię sprężyny?

Dalsza lektura

Materiał referencyjny