Równanie ciągłości i równanie Bernoulliego w zwężce

Potrzebne wiadomości: Gęstość, ciśnienie, energia kinetyczna i potencjalna.

Równanie ciągłości

W czasie Δt przez przekrój o polu S przepływa objętość S v Δt, jeżeli v oznacza średnią prędkość prostopadłą do przekroju. Przy ustalonym przepływie bez rozgałęzień i przecieków przez każdy przekrój przepływa w jednostce czasu taka sama masa:

\rho_1 S_1v_1=\rho_2 S_2v_2.

Dla nieściśliwej cieczy gęstości są równe, więc S₁v₁ = S₂v₂. Wielkość Q_V = Sv to strumień objętości, mierzony w m³/s. Nie mylimy go z ilością ciepła Q.

Bilans energii

Dla ustalonego przepływu nieściśliwego, nielepkiego płynu wzdłuż jednej linii prądu, bez pompy i turbiny pomiędzy punktami, równanie Bernoulliego ma postać:

p_1+\frac{\rho v_1^2}{2}+\rho gh_1=p_2+\frac{\rho v_2^2}{2}+\rho gh_2.

Każdy składnik ma jednostkę ciśnienia, czyli także energii na jednostkę objętości. W poziomym przewodzie człony ρgh się skracają. Wzrost prędkości wymaga wówczas spadku ciśnienia statycznego. Przy wyprowadzaniu tej postaci przyjmujemy prędkość w danym przekroju za jednakową; rzeczywiste profile prędkości mogą wymagać dodatkowych poprawek.

Przykład

Pozioma rura zwęża się z 6 cm² do 3 cm². W szerszej części woda płynie z prędkością 2 m/s. Z ciągłości otrzymujemy v₂ = 4 m/s. Dla ρ = 1000 kg/m³ spadek ciśnienia wynosi ρ(v₂² − v₁²)/2 = 6000 Pa. Nie obliczylibyśmy go, biorąc pod uwagę tylko stosunek pól.

Równanie Bernoulliego nie oznacza, że dowolne dwa punkty o tej samej wysokości muszą mieć jednakowe ciśnienie. Nie wolno też pomijać strat lepkości w długiej, rzeczywistej instalacji ani porównywać bez uzasadnienia różnych linii prądu. W granicy v₁ = v₂ = 0 równanie wraca do znanego warunku hydrostatycznego p + ρgh = const. Jest to użyteczna kontrola znaku członu wysokościowego.

Zadania do tego tematu

• Przepływ — zadanie: prędkość i ciśnienie w zwężce
• Wypływ ze zbiornika — zadanie: prawo Torricellego

Dalsza lektura

Materiał referencyjny